数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 4a_n - 1$ で与えられるとき、$a_1$ と $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 4a_n - 1$ で与えられるとき、$a_1$ と $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のときを考えます。$S_1 = a_1$ なので、$S_1 = 4a_1 - 1$ より、

$a_1 = 4a_1 - 1$

$3a_1 = 1$

$a_1 = \frac{1}{3}$

次に、$n \ge 2$ のときを考えます。$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ であり、$S_{n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}$ であるから、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

$S_n = 4a_n - 1$

$S_{n-1} = 4a_{n-1} - 1$

これらを引くと、

$S_n - S_{n-1} = (4a_n - 1) - (4a_{n-1} - 1)$

$a_n = 4a_n - 4a_{n-1}$

$3a_n = 4a_{n-1}$

$a_n = \frac{4}{3} a_{n-1}$

これは、数列 $\{a_n\}$ が初項 $a_1 = \frac{1}{3}$、公比 $\frac{4}{3}$ の等比数列であることを示しています。したがって、

$a_n = a_1 \left( \frac{4}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{3} \right)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_1 = \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{3} \right)^{n-1}$