与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(-2)$ の値を求め、 $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。 (3) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とします。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$0 \le x \le 2$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 9$ となるような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(-2)$ の値を求め、 $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

(3) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とします。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$0 \le x \le 2$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 9$ となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* $f(-2)$ を計算します。

$f(-2) = (-2)^2 - 4(-2) + 5 = 4 + 8 + 5 = 17$

* $f(x)$ を平方完成して頂点の座標を求めます。

$f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(2, 1)$

(2)

* $f(x)$ の定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

* 頂点の $x$ 座標は $x = 2$ なので、$x = 2$ は定義域に含まれます。

* $f(0) = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

* $f(2) = (2-2)^2 + 1 = 1$

* $f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$

* したがって、最大値は $f(0) = 5$ ($x = 0$ のとき)、最小値は $f(2) = 1$ ($x = 2$ のとき)。

(3)

* $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフを表す関数 $y = g(x)$ は、

$g(x) = f(x - a) = (x - a)^2 - 4(x - a) + 5 = (x - a)^2 - 4x + 4a + 5$

* $g(x)$ を平方完成すると、

$g(x) = (x - a)^2 - 4x + 4a + 5 = (x - a)^2 - 4(x - a) -4a + 4a + 5+4(a-a) = (x-a)^2 -4x +4a+5 = (x-a)^2 - 4(x-a) +5 = (x-2-a)^2+1$

頂点の座標は $(2+a, 1)$

* $0 \le x \le 2$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 9$ となる $a$ を求めます。

* $g(x) = (x-2-a)^2 + 1$ なので、$g(x)$ は $x=2+a$ で最小値1を取る。

* 軸が$x=2+a$なので、$0 \le x \le 2$の範囲で考える。

* $M - m = 9$ から、$M = m + 9 = 1 + 9 = 10$

* $x=0$または$x=2$で最大値をとる。

$g(0) = (-2-a)^2 + 1 = (2+a)^2 + 1$

$g(2) = (-a)^2 + 1 = a^2 + 1$

* $2+a >0$なので、$0 \le a$

* 場合1：$g(0)=10$のとき

$(2+a)^2+1=10 \implies (2+a)^2 = 9 \implies 2+a = \pm 3$

$a = 1$または$a=-5$

$a>0$より、$a=1$

* 場合2：$g(2)=10$のとき

$a^2+1=10 \implies a^2 = 9 \implies a = \pm 3$

$a>0$より、$a=3$

* したがって、$a=1$または$a=3$

* しかし、$g(x)$は$x=2+a$で最小値$1$をとるので、$0 \le x \le 2$の中で、$x=2+a$に近い方で最小値を取る。

$a=1$の時，$g(x)=(x-3)^2+1$となり、$x=2$での値は$2$となる。

この時の最小値は$g(x)$が$x=0$から$x=2$にかけて、$x$が$3$に近づくにつれ小さくなる。

軸$x=3$に近い$x=2$で小さい値を取り、$x=0$は遠いので、$x=0$で大きい値を取り、$a>0$なので、$M=g(0)=(a+2)^2 + 1 = (1+2)^2+1=10$

したがって$M=10$、$a=1$は問題ない。

$a=3$の時，$g(x)=(x-5)^2+1$となり、$x=0$での値は$26$となる。

したがって$M=26$となり、$M - m =9$を満たさないので、$a=3$は不適切である。

3. 最終的な答え

(1) ア: 4, イ: 4

(2) 最大値: 5 ($x = 0$ のとき), 最小値: 1 ($x = 2$ のとき)

(3) 頂点の座標: $(2+a, 1)$, $a = 1$