2次不等式 $x^2 + 2kx + k + 6 > 0$ の解がすべての実数となるような、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 2kx + k + 6 > 0$ の解がすべての実数となるような、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + 2kx + k + 6 > 0$ の解がすべての実数となるためには、2次関数 $y = x^2 + 2kx + k + 6$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。

これは、2次方程式 $x^2 + 2kx + k + 6 = 0$ が実数解を持たない、つまり判別式 $D$ が負となることを意味します。

判別式 $D$ は

$D = (2k)^2 - 4(1)(k+6) = 4k^2 - 4k - 24$

$D < 0$ となる $k$ の範囲を求めます。

$4k^2 - 4k - 24 < 0$

$k^2 - k - 6 < 0$

$(k-3)(k+2) < 0$

したがって、$-2 < k < 3$

3. 最終的な答え

-2 < k < 3