画像に書かれている質問は「ロピタルの定理とは何ですか」です。

1. 問題の内容

画像に書かれている質問は「ロピタルの定理とは何ですか」です。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理は、不定形（$\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ など）の極限を求める際に役立つ定理です。具体的には、関数 $f(x)$ と $g(x)$ が微分可能で、ある点 $a$ の近くで $g'(x) \neq 0$ であるとき、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ (または $\lim_{x \to a} |f(x)| = \infty$ かつ $\lim_{x \to a} |g(x)| = \infty$) ならば、次の式が成り立ちます。

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

つまり、不定形の極限を求める際に、分子と分母をそれぞれ微分した関数の比の極限を計算することで、元の極限を求めることができます。

3. 最終的な答え

ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ (または $\lim_{x \to a} |f(x)| = \infty$ かつ $\lim_{x \to a} |g(x)| = \infty$) のとき、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

が成り立つ定理です。