$2\sin^2{\theta} - 3\cos{\theta} = 0$ を満たす $\theta$ の値を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で求める問題です。値の小さい方から順に解答欄に記入します。

1. 問題の内容

$2\sin^2{\theta} - 3\cos{\theta} = 0$ を満たす $\theta$ の値を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で求める問題です。値の小さい方から順に解答欄に記入します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2{\theta}$ を $\cos{\theta}$ で表します。三角関数の恒等式 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta}$ です。これを元の式に代入すると、

$$2(1 - \cos^2{\theta}) - 3\cos{\theta} = 0$$

$$2 - 2\cos^2{\theta} - 3\cos{\theta} = 0$$

$$2\cos^2{\theta} + 3\cos{\theta} - 2 = 0$$

ここで、$x = \cos{\theta}$ とおくと、

$$2x^2 + 3x - 2 = 0$$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$$(2x - 1)(x + 2) = 0$$

よって、$x = \frac{1}{2}$ または $x = -2$ です。

$x = \cos{\theta}$ なので、$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ または $\cos{\theta} = -2$ となります。

$-1 \le \cos{\theta} \le 1$ より、$\cos{\theta} = -2$ は解なしです。

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で求めます。

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ です。

3. 最終的な答え

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。値の小さい順に並べると、$\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ となります。

(1) 1

(2) 3

(3) 5

(4) 3

$\theta = \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$