直角三角形において、底辺の長さを $x$ 、高さを $y$ 、底角を $\theta$ とするとき、$x$ と $y$ の関係を三角関数で表し、その式の取り得る最小値と最大値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形において、底辺の長さを $x$ 、高さを $y$ 、底角を $\theta$ とするとき、$x$ と $y$ の関係を三角関数で表し、その式の取り得る最小値と最大値を求める。

2. 解き方の手順

三角形は直角三角形であるので、三角関数の定義より、

$\tan \theta = \frac{y}{x}$

よって、$y$ は次のように表せる。

$y = x \tan \theta$

$\theta$ の取り得る範囲は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

したがって、$0 < \tan \theta < \infty$ となる。

最小値は、$\theta$ が0に近づくときに $y$ は0に近づくので、0となる。

最大値は、$\theta$ が$\frac{\pi}{2}$ に近づくときに $y$ は無限大に発散するので、存在しない。

3. 最終的な答え

$y = x \tan \theta$

最小値：0

最大値：なし