座標平面上で点P(x, y)が曲線C上を動くとき、$x = 3(t - \sin t)$, $y = 3(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) で表される。 (1) $t = \frac{\pi}{2}$ のときの点Pの座標、PにおけるCの接線の傾きとy切片を求める。 (2) Cとx軸で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上で点P(x, y)が曲線C上を動くとき、$x = 3(t - \sin t)$, $y = 3(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) で表される。

(1) $t = \frac{\pi}{2}$ のときの点Pの座標、PにおけるCの接線の傾きとy切片を求める。

(2) Cとx軸で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t = \frac{\pi}{2}$ を代入して、点Pの座標を求める。

$x = 3(\frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = 3(\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{3}{2}\pi - 3$

$y = 3(1 - \cos \frac{\pi}{2}) = 3(1 - 0) = 3$

したがって、点Pの座標は $(\frac{3}{2}\pi - 3, 3)$ である。

次に、接線の傾きを求める。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いる。

$\frac{dx}{dt} = 3(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = 3\sin t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\sin t}{3(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

$t = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{1 - \cos \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{1 - 0} = 1$

したがって、接線の傾きは1である。

接線の方程式を求める。接線は点P $(\frac{3}{2}\pi - 3, 3)$ を通り、傾きが1なので、

$y - 3 = 1(x - (\frac{3}{2}\pi - 3))$

$y = x - \frac{3}{2}\pi + 3 + 3$

$y = x - \frac{3}{2}\pi + 6$

したがって、y切片は $-\frac{3}{2}\pi + 6$ である。

(2)

Cとx軸で囲まれた部分の面積は、$S = \int y dx = \int y \frac{dx}{dt} dt$ で計算できる。

$y = 3(1 - \cos t)$

$\frac{dx}{dt} = 3(1 - \cos t)$

$x$軸との交点は $y = 0$ のときである。$3(1 - \cos t) = 0$ より $\cos t = 1$。

したがって、$t = 0, 2\pi$ となる。

$S = \int_{0}^{2\pi} 3(1 - \cos t) \cdot 3(1 - \cos t) dt = 9\int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 dt$

$S = 9\int_{0}^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) dt$

$S = 9\int_{0}^{2\pi} (1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}) dt$

$S = 9\int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t) dt$

$S = 9[\frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t]_{0}^{2\pi}$

$S = 9(\frac{3}{2} \cdot 2\pi - 0 + 0 - (0 - 0 + 0)) = 9(3\pi) = 27\pi$

したがって、面積は $27\pi$ である。

3. 最終的な答え

(1) 点Pの座標: $(\frac{3}{2}\pi - 3, 3)$

接線の傾き: $1$

y切片: $-\frac{3}{2}\pi + 6$

(2) 面積: $27\pi$