与えられた6つの定積分の値を求める問題です。具体的には、以下の積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^2 x^2 x^3 dx$ (2) $\int_1^2 \frac{1}{x^4} dx$ (3) $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$ (4) $\int_0^1 x \sqrt{x} dx$ (5) $\int_{-2}^2 \frac{1}{(x-3)^2} dx$ (6) $\int_{-1}^1 \sqrt[4]{x+2} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの定積分の値を求める問題です。具体的には、以下の積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^2 x^2 x^3 dx$

(2) $\int_1^2 \frac{1}{x^4} dx$

(3) $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$

(4) $\int_0^1 x \sqrt{x} dx$

(5) $\int_{-2}^2 \frac{1}{(x-3)^2} dx$

(6) $\int_{-1}^1 \sqrt[4]{x+2} dx$

2. 解き方の手順

それぞれの積分を順に計算していきます。

(1) $\int_{-1}^2 x^2 x^3 dx = \int_{-1}^2 x^5 dx$

$x^5$ の原始関数は $\frac{1}{6}x^6$ なので、

$\int_{-1}^2 x^5 dx = \left[ \frac{1}{6}x^6 \right]_{-1}^2 = \frac{1}{6}(2^6 - (-1)^6) = \frac{1}{6}(64 - 1) = \frac{63}{6} = \frac{21}{2}$

(2) $\int_1^2 \frac{1}{x^4} dx = \int_1^2 x^{-4} dx$

$x^{-4}$ の原始関数は $\frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$ なので、

$\int_1^2 x^{-4} dx = \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_1^2 = -\frac{1}{3(2^3)} - \left( -\frac{1}{3(1^3)} \right) = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3} = \frac{-1 + 8}{24} = \frac{7}{24}$

(3) $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx = \int_1^4 x^{-3/2} dx$

$x^{-3/2}$ の原始関数は $\frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2x^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{x}}$ なので、

$\int_1^4 x^{-3/2} dx = \left[ -\frac{2}{\sqrt{x}} \right]_1^4 = -\frac{2}{\sqrt{4}} - \left( -\frac{2}{\sqrt{1}} \right) = -\frac{2}{2} + 2 = -1 + 2 = 1$

(4) $\int_0^1 x \sqrt{x} dx = \int_0^1 x^{3/2} dx$

$x^{3/2}$ の原始関数は $\frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}$ なので、

$\int_0^1 x^{3/2} dx = \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^1 = \frac{2}{5}(1^{5/2} - 0^{5/2}) = \frac{2}{5}(1 - 0) = \frac{2}{5}$

(5) $\int_{-2}^2 \frac{1}{(x-3)^2} dx = \int_{-2}^2 (x-3)^{-2} dx$

$(x-3)^{-2}$ の原始関数は $\frac{(x-3)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-3}$ なので、

$\int_{-2}^2 (x-3)^{-2} dx = \left[ -\frac{1}{x-3} \right]_{-2}^2 = -\frac{1}{2-3} - \left( -\frac{1}{-2-3} \right) = -\frac{1}{-1} + \left( -\frac{1}{-5} \right) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

(6) $\int_{-1}^1 \sqrt[4]{x+2} dx = \int_{-1}^1 (x+2)^{1/4} dx$

$(x+2)^{1/4}$ の原始関数は $\frac{(x+2)^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}(x+2)^{5/4}$ なので、

$\int_{-1}^1 (x+2)^{1/4} dx = \left[ \frac{4}{5}(x+2)^{5/4} \right]_{-1}^1 = \frac{4}{5}( (1+2)^{5/4} - (-1+2)^{5/4} ) = \frac{4}{5}( 3^{5/4} - 1^{5/4} ) = \frac{4}{5}( 3^{5/4} - 1) = \frac{4}{5}(3\sqrt[4]{3} - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{21}{2}$

(2) $\frac{7}{24}$

(3) $1$

(4) $\frac{2}{5}$

(5) $\frac{4}{5}$

(6) $\frac{4}{5}(3\sqrt[4]{3} - 1)$