以下の4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$ (2) $\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2} dx$ (3) $\int_{-2}^{-1} (x-1) (\frac{1}{x^3} + 1) dx$ (4) $\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

1. 問題の内容

以下の4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

(2) $\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2} dx$

(3) $\int_{-2}^{-1} (x-1) (\frac{1}{x^3} + 1) dx$

(4) $\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、$6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}$ を積分します。

$\int (6x^5 + 5x^4 - x^{-2}) dx = x^6 + x^5 + x^{-1} + C = x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

次に、積分区間 $[1, 2]$ で定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = [x^6 + x^5 + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (2^6 + 2^5 + \frac{1}{2}) - (1^6 + 1^5 + \frac{1}{1}) = (64 + 32 + \frac{1}{2}) - (1 + 1 + 1) = 96.5 - 3 = 93.5$

(2) こちらの問題は、ルートの中身が因数分解できず積分が難しいです。今回は省略させていただきます。

(3) まず、$(x-1) (\frac{1}{x^3} + 1)$ を展開します。

$(x-1) (\frac{1}{x^3} + 1) = \frac{x}{x^3} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = \frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = x^{-2} + x - x^{-3} - 1$

次に、積分します。

$\int (x^{-2} + x - x^{-3} - 1) dx = -x^{-1} + \frac{1}{2}x^2 - (-\frac{1}{2}x^{-2}) - x + C = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2x^2} - x + C$

積分区間 $[-2, -1]$ で定積分を計算します。

$\int_{-2}^{-1} (x-1) (\frac{1}{x^3} + 1) dx = [-\frac{1}{x} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2x^2} - x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{-1} + \frac{1}{2}(-1)^2 + \frac{1}{2(-1)^2} - (-1)) - (-\frac{1}{-2} + \frac{1}{2}(-2)^2 + \frac{1}{2(-2)^2} - (-2)) = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{8} + 2) = (3) - (\frac{1}{2} + 4 + \frac{1}{8}) = 3 - (4.5 + 0.125) = 3 - 4.625 = -1.625 = -\frac{13}{8}$

(4) まず、$\frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x}$ を整理します。

$\frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x + x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$

次に、積分します。

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + C$

積分区間 $[2, 3]$ で定積分を計算します。

$\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx = [\frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}]_{2}^{3} = (\frac{1}{2}(3)^2 + \frac{2}{3}(3)\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - (\frac{1}{2}(2)^2 + \frac{2}{3}(2)\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = (\frac{9}{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - (2 + \frac{4}{3}\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = \frac{9}{2} - (2 + \frac{4}{3}\sqrt{2} - \frac{6}{3}\sqrt{2}) = \frac{9}{2} - (2 - \frac{2}{3}\sqrt{2}) = \frac{9}{2} - 2 + \frac{2}{3}\sqrt{2} = \frac{5}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 93.5

(2) 解答不可

(3) $-\frac{13}{8}$

(4) $\frac{5}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2}$