定積分 $\int_{1}^{4} \left\{ \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2x}}} + (3x)^2 \right\} dx$ を計算します。

## 問題 (2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \left\{ \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2x}}} + (3x)^2 \right\} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を整理します。

$\sqrt{\frac{4}{x^3}+\frac{1}{\sqrt{2x}}} + (3x)^2 = \sqrt{\frac{4}{x^3}+\frac{1}{\sqrt{2}x^{\frac{1}{2}}}} + 9x^2$

この積分を計算するには、まずそれぞれの項を個別に積分することを考えます。

$I = \int_{1}^{4} \left(\sqrt{\frac{4}{x^3}+\frac{1}{\sqrt{2x}}} + 9x^2 \right) dx$

$I = \int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}}} dx + \int_{1}^{4} 9x^2 dx$

ここで$\int_{1}^{4} 9x^2 dx = \left[3x^3\right]_1^4 = 3(4^3 - 1^3) = 3(64-1) = 3(63) = 189$

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}}} dx$ についてですが、これ以上単純化または積分する方法はすぐにはわかりません。

問題文を再確認すると、 $\sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2x}}}$ の項が正しく読み取れていない可能性があります。画像から判断するに、原文は $\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}}$ である可能性が高いです。

そこで、$\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}}$ を仮定して問題を解き進めます。

$\int_{1}^{4} \left(\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2 \right) dx$

$= \int_{1}^{4} \left( \frac{2}{x^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{2}x^{1/2}} + 9x^2 \right) dx$

$= \int_{1}^{4} \left( 2x^{-3/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-1/2} + 9x^2 \right) dx$

$= \left[ 2\frac{x^{-1/2}}{-1/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{x^{1/2}}{1/2} + 3x^3 \right]_1^4$

$= \left[ -4x^{-1/2} + \sqrt{2}x^{1/2} + 3x^3 \right]_1^4$

$= \left[ -4\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}\sqrt{x} + 3x^3 \right]_1^4$

$= \left( -4\frac{1}{2} + \sqrt{2}(2) + 3(64) \right) - \left( -4 + \sqrt{2} + 3 \right)$

$= -2 + 2\sqrt{2} + 192 - (-1 + \sqrt{2})$

$= -2 + 2\sqrt{2} + 192 + 1 - \sqrt{2}$

$= 191 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$191 + \sqrt{2}$