$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の2つの方程式を解く問題です。 (1) $2\cos^2x - \sin x - 1 = 0$ (2) $\cos 2x = \cos x$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の2つの方程式を解く問題です。

(1) $2\cos^2x - \sin x - 1 = 0$

(2) $\cos 2x = \cos x$

2. 解き方の手順

(1) $2\cos^2x - \sin x - 1 = 0$ を解きます。

$\cos^2x = 1 - \sin^2x$ を用いて、式を $\sin x$ のみにします。

$2(1 - \sin^2x) - \sin x - 1 = 0$

$2 - 2\sin^2x - \sin x - 1 = 0$

$-2\sin^2x - \sin x + 1 = 0$

$2\sin^2x + \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$

よって、$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$

$\sin x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin x = -1$ のとき、$x = \frac{3\pi}{2}$

(2) $\cos 2x = \cos x$ を解きます。

$\cos 2x = 2\cos^2x - 1$ を用いて、式を $\cos x$ のみにします。

$2\cos^2x - 1 = \cos x$

$2\cos^2x - \cos x - 1 = 0$

$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

よって、$\cos x = -\frac{1}{2}$ または $\cos x = 1$

$\cos x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

$\cos x = 1$ のとき、$x = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $x = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$