関数 $y = f(x) = x^2e^{3x}$ について、$x=1$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = x^2e^{3x}$ について、$x=1$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

接線の方程式は、接点の座標$(x_0, y_0)$と接線の傾き $f'(x_0)$ を用いて、$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$ で表されます。

まず、$x=1$ における $y$ の値を計算します。

$y_0 = f(1) = 1^2 e^{3\cdot1} = e^3$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。積の微分法を用います。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2e^{3x}) = \frac{d}{dx}(x^2)e^{3x} + x^2\frac{d}{dx}(e^{3x}) = 2xe^{3x} + x^2(3e^{3x}) = (2x + 3x^2)e^{3x}$

$x=1$ における $f'(x)$ の値を計算します。これが接線の傾きになります。

$f'(1) = (2(1) + 3(1)^2)e^{3(1)} = (2 + 3)e^3 = 5e^3$

接点の座標は $(1, e^3)$ で、接線の傾きは $5e^3$ であるから、接線の方程式は次のようになります。

$y - e^3 = 5e^3(x - 1)$

$y = 5e^3x - 5e^3 + e^3$

$y = 5e^3x - 4e^3$

3. 最終的な答え

$y = 5e^3x - 4e^3$