関数 $y = f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ について、点 $P(1, \frac{1}{2})$ における接線の式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ について、点 $P(1, \frac{1}{2})$ における接線の式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ を微分するには、商の微分法を用いるか、$f(x) = (x^2 + 1)^{-1}$ として合成関数の微分法を用います。ここでは後者を選択します。

$f'(x) = -1(x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

次に、点 $P(1, \frac{1}{2})$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数 $f'(x)$ に $x = 1$ を代入することで得られます。

$f'(1) = -\frac{2(1)}{(1^2 + 1)^2} = -\frac{2}{(1 + 1)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、点 $P(1, \frac{1}{2})$ における接線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点、 $m$ は接線の傾きです。

この問題では、$(x_1, y_1) = (1, \frac{1}{2})$ であり、$m = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、接線の式は次のようになります。

$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(x - 1)$

これを整理すると、

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + 1$

3. 最終的な答え

接線の式は $y = -\frac{1}{2}x + 1$ です。