実数 $p$ を定数とする関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 2p(x^2 - 2x) + p + 1$ の最小値を $m$ とする。 (1) $m$ を $p$ の式で表せ。 (2) $m$ を最大にする $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $p$ を定数とする関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 2p(x^2 - 2x) + p + 1$ の最小値を $m$ とする。

(1) $m$ を $p$ の式で表せ。

(2) $m$ を最大にする $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$t = x^2 - 2x$ とおく。このとき、$y = t^2 + 2pt + p + 1$ となる。

次に、$t = x^2 - 2x$ の取りうる値の範囲を求める。

$t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ より、$t \geq -1$ である。

$y = t^2 + 2pt + p + 1$ を平方完成すると、$y = (t + p)^2 - p^2 + p + 1$ となる。

$t \geq -1$ の条件下で $y$ の最小値 $m$ を求める。

場合分けをする。

(i) $-p \geq -1$ つまり $p \leq 1$ のとき、$t = -1$ で $y$ は最小となる。

このとき、$m = (-1 + p)^2 - p^2 + p + 1 = 1 - 2p + p^2 - p^2 + p + 1 = -p + 2$

(ii) $-p < -1$ つまり $p > 1$ のとき、$t = -p$ で $y$ は最小となる。

このとき、$m = -p^2 + p + 1$

以上より、$m$ を $p$ の式で表すと、

$m = \begin{cases} -p + 2 & (p \leq 1) \\ -p^2 + p + 1 & (p > 1) \end{cases}$

(2) $m$ を最大にする $p$ の値を求める。

(i) $p \leq 1$ のとき、$m = -p + 2$ は $p = 1$ で最大値 $1$ をとる。

(ii) $p > 1$ のとき、$m = -p^2 + p + 1 = -(p - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$

これは上に凸な放物線であり、軸は $p = \frac{1}{2}$ である。

$p > 1$ の範囲で $m$ は減少関数なので、$p$ が $1$ に近いほど $m$ は大きい。

$p = 1$ のとき、$m = -1^2 + 1 + 1 = 1$ である。

以上より、$m$ を最大にする $p$ の値は $p = 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m = \begin{cases} -p + 2 & (p \leq 1) \\ -p^2 + p + 1 & (p > 1) \end{cases}$

(2) $p = 1$