関数 $y = f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ の極値を求める問題です。極値が存在しない場合は「なし」と答え、極値が存在する場合はその値と、それが極大値か極小値かを答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ の極値を求める問題です。極値が存在しない場合は「なし」と答え、極値が存在する場合はその値と、それが極大値か極小値かを答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{1}{x^2+1}) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$

次に、導関数が0になる点を求めます。

$f'(x) = 0$ より、

$-\frac{2x}{(x^2+1)^2} = 0$

$2x = 0$

$x = 0$

$x=0$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化するか調べます。

$x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 0$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x=0$ で極大値をとります。

$x=0$ のときの $y$ の値を計算します。

$f(0) = \frac{1}{0^2+1} = 1$

3. 最終的な答え

$x=0$ で極大値1をとる。