定積分 $\int_{0}^{1} (2xe^{x^2}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (2xe^{x^2}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を用いて解くことができます。

$u = x^2$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $du = 2x dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき $u = 0^2 = 0$

$x = 1$ のとき $u = 1^2 = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} (2xe^{x^2}) dx = \int_{0}^{1} e^{u} du$

$e^u$ の積分は $e^u$ なので、

$\int_{0}^{1} e^{u} du = [e^{u}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$

3. 最終的な答え

$e-1$