$\int xe^x dx$ を求める問題です。部分積分を使って計算します。積分定数 $C$ を忘れないようにします。

1. 問題の内容

$\int xe^x dx$ を求める問題です。部分積分を使って計算します。積分定数 $C$ を忘れないようにします。

2. 解き方の手順

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここでは、$u = x$、 $dv = e^x dx$ と置きます。すると、$du = dx$、$v = \int e^x dx = e^x$ となります。

したがって、

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx$

$\int e^x dx = e^x$ なので、

$\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$

3. 最終的な答え

$\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$

または

$\int xe^x dx = (x-1)e^x + C$