$\int x^2 \cos x \, dx$ を計算する問題です。部分積分を2回行う必要があります。

1. 問題の内容

$\int x^2 \cos x \, dx$ を計算する問題です。部分積分を2回行う必要があります。

2. 解き方の手順

部分積分は$\int u \, dv = uv - \int v \, du$の公式を利用します。

まず、$u = x^2$, $dv = \cos x \, dx$ とすると、$du = 2x \, dx$, $v = \sin x$となります。

したがって、

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x \, dx$

次に、$\int x \sin x \, dx$を計算します。

$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$となります。

したがって、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int -\cos x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C_1$

これを最初の式に代入すると、

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C$

3. 最終的な答え

$x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C$