$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx$ を計算する問題です。置換積分を使って解きます。

1. 問題の内容

$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx$ を計算する問題です。置換積分を使って解きます。

2. 解き方の手順

まず、$u = 1 - \sin x$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = -\cos x$ となり、$du = -\cos x dx$ が得られます。

したがって、$\cos x dx = -du$ となります。

積分を $u$ で書き換えると、

$$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx = \int \frac{-du}{u} = - \int \frac{1}{u} du$$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ であるから、

$$- \int \frac{1}{u} du = - \ln |u| + C$$

ここで、$u = 1 - \sin x$ を代入して、元の変数 $x$ に戻すと、

$$- \ln |1 - \sin x| + C$$

$\sin x$ は $-1 \leq \sin x \leq 1$ を満たすので、$1 - \sin x \geq 0$ です。したがって、絶対値を外すことができます。

$$- \ln (1 - \sin x) + C$$

3. 最終的な答え

$- \ln (1 - \sin x) + C$