多項式 $x^4 - px + q$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとき、定数 $p$ と $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $x^4 - px + q$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとき、定数 $p$ と $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

多項式 $x^4 - px + q$ が $(x-1)^2$ で割り切れるということは、$x^4 - px + q = (x-1)^2 Q(x)$ と表せる。ここで $Q(x)$ はある多項式である。

$x=1$ を代入すると、

$1^4 - p(1) + q = 0$

$1 - p + q = 0$

$p - q = 1$ (1)

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ で割り切れることから、$x^4 - px + q$ は $x-1$ で割り切れる。したがって、$x=1$ を代入すると $0$ になる。また、$x^4 - px + q$ を微分すると $4x^3 - p$ となり、$x=1$ を代入すると $4 - p$ となる。この値も $0$ にならなければならない。

$4(1)^3 - p = 0$

$4 - p = 0$

$p = 4$ (2)

(1)式に(2)式を代入する。

$4 - q = 1$

$q = 3$

別の解法として、実際に割り算を実行する方法もある。

$x^4 - px + q$ を $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ で割ると、

$$\frac{x^4 - px + q}{x^2 - 2x + 1} = x^2 + 2x + 3 + \frac{(6-p)x + (q-3)}{x^2 - 2x + 1}$$

割り切れるためには、余りが $0$ になる必要があるので

$6 - p = 0$ かつ $q - 3 = 0$

よって、 $p = 6$ かつ $q = -3$

$x^4 - px + q$ が $(x-1)^2$ で割り切れるので、$x^4-px+q = (x-1)^2 (ax^2+bx+c)$ とかけるはずである。

右辺を展開すると、

$(x^2-2x+1)(ax^2+bx+c) = ax^4 + bx^3 + cx^2 - 2ax^3 - 2bx^2 - 2cx + ax^2 + bx + c = ax^4 + (b-2a)x^3 + (c-2b+a)x^2 + (b-2c)x + c$

$x^4 - px + q = ax^4 + (b-2a)x^3 + (c-2b+a)x^2 + (b-2c)x + c$

係数を比較すると

$a = 1$

$b - 2a = 0$

$c - 2b + a = 0$

$b - 2c = -p$

$c = q$

$a = 1$ なので $b = 2a = 2$

$c = 2b - a = 4 - 1 = 3$

$p = 2c - b = 6 - 2 = 4$

$q = c = 3$

3. 最終的な答え

$p = 4$

$q = 3$