与えられた数式の値を計算し、分数で表された結果の分子と分母を求めます。数式は $[(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{2}}]^{\frac{1}{4}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算し、分数で表された結果の分子と分母を求めます。数式は $[(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{2}}]^{\frac{1}{4}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{16}{81}$ を素因数分解します。$16 = 2^4$ であり、$81 = 3^4$ です。

したがって、$\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$ となります。

次に、数式に代入します。

$[(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{2}}]^{\frac{1}{4}} = [(\frac{2}{3})^{4(-\frac{3}{2})}]^{\frac{1}{4}} = [(\frac{2}{3})^{-6}]^{\frac{1}{4}} = (\frac{2}{3})^{-\frac{6}{4}} = (\frac{2}{3})^{-\frac{3}{2}}$

負の指数を解消するために、逆数を取ります。

$(\frac{2}{3})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}} = (\frac{3}{2})^{1+\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}$

根号の中を整理します。

$\frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

分母の有理化を行います。

$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$

したがって、求める分数は $\frac{3\sqrt{6}}{4}$ です。画像から読み取れるように、分母・分子に当てはまる数はそれぞれ整数である必要があるので、計算間違いがある可能性があります。確認します。

$[(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{2}}]^{\frac{1}{4}} = [(\frac{2^4}{3^4})^{-\frac{3}{2}}]^{\frac{1}{4}} = [(\frac{2}{3})^{4 \cdot (-\frac{3}{2})}]^{\frac{1}{4}} = [(\frac{2}{3})^{-6}]^{\frac{1}{4}} = (\frac{2}{3})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(\frac{3}{2})^3} = \sqrt{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$

もう一度、数式を注意深く確認します。

$[(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{2}}]^{\frac{1}{4}} = [(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}}] = (\frac{16}{81})^{-\frac{3}{8}} = (\frac{81}{16})^{\frac{3}{8}} = (\frac{3^4}{2^4})^{\frac{3}{8}} = (\frac{3}{2})^{\frac{12}{8}} = (\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}}$

これは先ほどと同様なので、ルートが残ります。

最初の問題文の読み取りを間違えていないか確認します。

$[(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{2}}]^{\frac{1}{4}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$ でした。

アに $3\sqrt{6}$、イに $4$ を入れることになりますが、$3\sqrt{6}$ は整数ではありません。

問題文に誤りがないか確認します。

3. 最終的な答え

ア: 3√6

イ: 4

しかし、画像から推測するに、アとイは整数でなければならないようです。問題文に誤りがあるか、もしくは私が問題の解釈を間違えている可能性があります。現時点では、$\frac{3\sqrt{6}}{4}$ が答えです。