問題は、与えられた位置 $x(t)$ の式から、速度と加速度を求め、さらに各式の物理的な妥当性を次元解析に基づいて説明することです。以下の4つの場合について行います。 (a) $x(t) = A \sin(\omega t)$ (b) $x(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \delta)$ (c) $x(t) = h - \frac{v_\infty^2}{g} \log \cosh \frac{gt}{v_\infty}$ (d) $x(t) = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(\sin \omega t - \frac{\omega}{\omega_0} \sin \omega_0 t)$

1. 問題の内容

問題は、与えられた位置 $x(t)$ の式から、速度と加速度を求め、さらに各式の物理的な妥当性を次元解析に基づいて説明することです。以下の4つの場合について行います。

(a) $x(t) = A \sin(\omega t)$

(b) $x(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \delta)$

(c) $x(t) = h - \frac{v_\infty^2}{g} \log \cosh \frac{gt}{v_\infty}$

(d) $x(t) = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(\sin \omega t - \frac{\omega}{\omega_0} \sin \omega_0 t)$

2. 解き方の手順

速度は位置の時間微分、加速度は速度の時間微分で求めます。

次元解析では、各項の次元が一致しているか確認します。

(a) $x(t) = A \sin(\omega t)$

速度: $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$

加速度: $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = -\omega^2 x(t)$

次元解析:

- $[x] = L$ (長さ)

- $[A] = L$ (振幅なので長さ)

- $[\omega] = T^{-1}$ (角振動数なので時間の逆数)

- $[v] = LT^{-1}$ ($A\omega$の次元と一致)

- $[a] = LT^{-2}$ ($A\omega^2$の次元と一致)

(b) $x(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \delta)$

速度: $v(t) = \frac{dx}{dt} = A(-\alpha e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \delta) - \omega e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \delta))$

加速度: $a(t) = \frac{dv}{dt} = A(e^{-\alpha t} (\alpha^2 - \omega^2) \cos(\omega t + \delta) + 2\alpha\omega e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \delta))$

次元解析:

- $[\alpha] = T^{-1}$

- $[e^{-\alpha t}] = 1$ (無次元)

- $[v] = LT^{-1}$ (速度の次元、上記速度の式と一致)

- $[a] = LT^{-2}$ (加速度の次元、上記加速度の式と一致)

(c) $x(t) = h - \frac{v_\infty^2}{g} \log \cosh \frac{gt}{v_\infty}$

速度: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -\frac{v_\infty^2}{g} \frac{1}{\cosh \frac{gt}{v_\infty}} \sinh \frac{gt}{v_\infty} \frac{g}{v_\infty} = -v_\infty \tanh \frac{gt}{v_\infty}$

加速度: $a(t) = \frac{dv}{dt} = -v_\infty \frac{1}{\cosh^2 \frac{gt}{v_\infty}} \frac{g}{v_\infty} = -\frac{g}{\cosh^2 \frac{gt}{v_\infty}}$

次元解析:

- $[h] = L$

- $[v_\infty] = LT^{-1}$

- $[g] = LT^{-2}$

- $[\frac{v_\infty^2}{g}] = L$ (上記位置の式と一致)

- $[\frac{gt}{v_\infty}] = 1$ (無次元)

- $[\cosh \frac{gt}{v_\infty}] = 1$ (無次元)

- $[\log \cosh \frac{gt}{v_\infty}] = 1$（無次元）

- $[v] = LT^{-1}$

- $[a] = LT^{-2}$

(d) $x(t) = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(\sin \omega t - \frac{\omega}{\omega_0} \sin \omega_0 t)$

速度: $v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(\omega \cos \omega t - \frac{\omega}{\omega_0} \omega_0 \cos \omega_0 t) = \frac{F_0\omega}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(\cos \omega t - \cos \omega_0 t)$

加速度: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{F_0\omega}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(-\omega \sin \omega t + \omega_0 \sin \omega_0 t) = \frac{F_0\omega}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(-\omega \sin \omega t + \omega_0 \sin \omega_0 t)$

次元解析:

- $[F_0] = MLT^{-2}$ (力)

- $[m] = M$ (質量)

- $[\omega] = T^{-1}$

- $[\omega_0] = T^{-1}$

- $[m(\omega_0^2 - \omega^2)] = MT^{-2}$

- $[\frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}] = L$ (位置の次元、上記位置の式と一致)

- $[v] = LT^{-1}$

- $[a] = LT^{-2}$

3. 最終的な答え

(a)

速度: $v(t) = A\omega \cos(\omega t)$

加速度: $a(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t)$

(b)

速度: $v(t) = A(-\alpha e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \delta) - \omega e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \delta))$

加速度: $a(t) = A(e^{-\alpha t} (\alpha^2 - \omega^2) \cos(\omega t + \delta) + 2\alpha\omega e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \delta))$

(c)

速度: $v(t) = -v_\infty \tanh \frac{gt}{v_\infty}$

加速度: $a(t) = -\frac{g}{\cosh^2 \frac{gt}{v_\infty}}$

(d)

速度: $v(t) = \frac{F_0\omega}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(\cos \omega t - \cos \omega_0 t)$

加速度: $a(t) = \frac{F_0\omega}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(-\omega \sin \omega t + \omega_0 \sin \omega_0 t)$

これらの式はすべて次元的に正当です。