質量 $m_A = 6.0 \text{ kg}$ の物体Aが東向きに速さ $v_A = 10 \text{ m/s}$ で進み、質量 $m_B = 5.0 \text{ kg}$ の物体Bが北向きに速さ $v_B = 12 \text{ m/s}$ で進み衝突し、一体となった。衝突後の運動の速さと、東向きに対する角度を求める。

## 問題8の解答

1. 問題の内容

質量 $m_A = 6.0 \text{ kg}$ の物体Aが東向きに速さ $v_A = 10 \text{ m/s}$ で進み、質量 $m_B = 5.0 \text{ kg}$ の物体Bが北向きに速さ $v_B = 12 \text{ m/s}$ で進み衝突し、一体となった。衝突後の運動の速さと、東向きに対する角度を求める。

2. 解き方の手順

運動量保存の法則を利用する。水平方向（東向きをx軸の正の方向とする）と垂直方向（北向きをy軸の正の方向とする）に分けて考える。

* 水平方向の運動量保存則:

$m_A v_A = (m_A + m_B) v_x$

* 垂直方向の運動量保存則:

$m_B v_B = (m_A + m_B) v_y$

ここで、$v_x$ と $v_y$ は衝突後の物体の速度の水平成分と垂直成分を表す。これらの式から $v_x$ と $v_y$ を求めると：

$v_x = \frac{m_A v_A}{m_A + m_B} = \frac{6.0 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}}{6.0 \text{ kg} + 5.0 \text{ kg}} = \frac{60}{11} \text{ m/s}$

$v_y = \frac{m_B v_B}{m_A + m_B} = \frac{5.0 \text{ kg} \times 12 \text{ m/s}}{6.0 \text{ kg} + 5.0 \text{ kg}} = \frac{60}{11} \text{ m/s}$

衝突後の速度の大きさ $v$ は、

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(\frac{60}{11})^2 + (\frac{60}{11})^2} = \frac{60}{11} \sqrt{2} \text{ m/s} \approx 7.71 \text{ m/s}$

衝突後の速度の向き $\theta$ は、東向きからの角度で表すと

$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{60/11}{60/11} = 1$

$\theta = \arctan(1) = 45^\circ$

3. 最終的な答え

衝突後の速さは約 $7.71 \text{ m/s}$ であり、向きは東向きから $45^\circ$ の方向である。

## 問題9の解答

1. 問題の内容

質量 $m_A = 1.5 \text{ kg}$ の物体Aが $v_A = 12 \text{ m/s}$ でx軸正の向きに進み、静止している質量 $m_B = 5.2 \text{ kg}$ の物体Bに衝突する。衝突後、物体Aは進行方向から $60^\circ$ ずれ、物体Bは $30^\circ$ の方向に進んだ。衝突後の物体A, Bの速さ $v_A'$, $v_B'$ を求める。

2. 解き方の手順

運動量保存の法則を利用する。水平方向（x軸）と垂直方向（y軸）に分けて考える。

* 水平方向の運動量保存則:

$m_A v_A = m_A v_A' \cos(60^\circ) + m_B v_B' \cos(30^\circ)$

* 垂直方向の運動量保存則:

$0 = m_A v_A' \sin(60^\circ) - m_B v_B' \sin(30^\circ)$

与えられた値を代入する:

$1.5 \times 12 = 1.5 v_A' \cos(60^\circ) + 5.2 v_B' \cos(30^\circ)$

$0 = 1.5 v_A' \sin(60^\circ) - 5.2 v_B' \sin(30^\circ)$

これらの式を整理する:

$18 = 1.5 v_A' (0.5) + 5.2 v_B' (\frac{\sqrt{3}}{2})$

$0 = 1.5 v_A' (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 5.2 v_B' (0.5)$

さらに整理する:

$18 = 0.75 v_A' + 2.6 \sqrt{3} v_B' \quad (*)$

$0 = 1.5 \sqrt{3} v_A' - 5.2 v_B' \quad (**)$

式(**)より、$v_A'$ について解く:

$v_A' = \frac{5.2 v_B'}{1.5 \sqrt{3}} = \frac{5.2}{1.5\sqrt{3}} v_B'$

これを式(*)に代入する:

$18 = 0.75 (\frac{5.2}{1.5\sqrt{3}} v_B') + 2.6 \sqrt{3} v_B'$

$18 = \frac{0.75 \times 5.2}{1.5\sqrt{3}} v_B' + 2.6 \sqrt{3} v_B'$

$18 = (\frac{3.9}{1.5\sqrt{3}} + 2.6\sqrt{3}) v_B' = (\frac{3.9 \sqrt{3}}{1.5 \times 3} + 2.6\sqrt{3}) v_B' = (\frac{3.9\sqrt{3}}{4.5} + 2.6\sqrt{3}) v_B'$

$18 = (\frac{3.9}{4.5} + 2.6) \sqrt{3} v_B' = (\frac{39}{45} + \frac{117}{45})\sqrt{3}v_B' = \frac{156}{45} \sqrt{3} v_B' = \frac{52}{15} \sqrt{3} v_B'$

$v_B' = \frac{18 \times 15}{52 \sqrt{3}} = \frac{270}{52\sqrt{3}} = \frac{135}{26\sqrt{3}} = \frac{135\sqrt{3}}{26 \times 3} = \frac{45\sqrt{3}}{26} \approx 3.00 \text{ m/s}$

$v_A' = \frac{5.2}{1.5\sqrt{3}} v_B' = \frac{5.2}{1.5\sqrt{3}} \times \frac{45\sqrt{3}}{26} = \frac{5.2 \times 45}{1.5 \times 26} = \frac{234}{39} = 6 \text{ m/s}$

3. 最終的な答え

$v_A' \approx 6 \text{ m/s}$

$v_B' \approx 3.00 \text{ m/s}$