質量 $6.0 kg$ の物体Aが東向きに速さ $10 m/s$ で進んでいる。質量 $5.0 kg$ の物体Bが北向きに速さ $12 m/s$ で進んでいる。これらが衝突して一体となったとき、衝突後の物体の速さと、東向きに対する角度を求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

質量 $6.0 kg$ の物体Aが東向きに速さ $10 m/s$ で進んでいる。質量 $5.0 kg$ の物体Bが北向きに速さ $12 m/s$ で進んでいる。これらが衝突して一体となったとき、衝突後の物体の速さと、東向きに対する角度を求めよ。

2. 解き方の手順

衝突後の物体の速度を $\vec{v}$ とし、x軸を東向き、y軸を北向きとします。運動量保存の法則から、

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m_A \vec{v_A} + m_B \vec{v_B} = (m_A + m_B) \vec{v}

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各方向の成分で表すと、

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m_A v_{Ax} + m_B v_{Bx} = (m_A + m_B) v_x \\

m_A v_{Ay} + m_B v_{By} = (m_A + m_B) v_y

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与えられた値を代入すると、

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6.0 \times 10 + 5.0 \times 0 = (6.0 + 5.0) v_x \\

6.0 \times 0 + 5.0 \times 12 = (6.0 + 5.0) v_y

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これを解くと、

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v_x = \frac{60}{11} \approx 5.45 \ m/s \\

v_y = \frac{60}{11} \approx 5.45 \ m/s

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したがって、衝突後の速さは

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v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{\left(\frac{60}{11}\right)^2 + \left(\frac{60}{11}\right)^2} = \frac{60\sqrt{2}}{11} \approx 7.71 \ m/s

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東向きに対する角度 $\theta$ は、

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\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{60/11}{60/11} = 1

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より、

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\theta = \arctan(1) = 45^\circ

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3. 最終的な答え

衝突後の速さ：約 $7.71 \ m/s$

東向きに対する角度： $45^\circ$

## 問題9

1. 問題の内容

滑らかな水平面上で、質量 $1.5 kg$ の物体Aが $x$ 軸上を正の向きに $12 m/s$ の速さで進み、静止している質量 $5.2 kg$ の物体Bに衝突した。衝突後、Aは進行方向から $60^\circ$ ずれ、Bは $30^\circ$ の方向に進んだ。物体A, Bの衝突後の速さ $v_A', v_B'$ はそれぞれいくらか。

2. 解き方の手順

衝突前のAの速度を $\vec{v_A}$、衝突後のAの速度を $\vec{v_A'}$、衝突前のBの速度を $\vec{v_B}$、衝突後のBの速度を $\vec{v_B'}$ とします。

$x$軸方向、および $y$軸方向の運動量保存則から、

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m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A' \cos(60^\circ) + m_B v_B' \cos(30^\circ) \\

0 = m_A v_A' \sin(60^\circ) - m_B v_B' \sin(30^\circ)

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$v_A = 12 m/s$, $v_B = 0 m/s$ を代入すると

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1. 5 \times 12 + 5.2 \times 0 = 1.5 v_A' \cos(60^\circ) + 5.2 v_B' \cos(30^\circ) \\

2. 5 \times 12 = 1.5 v_A' \frac{1}{2} + 5.2 v_B' \frac{\sqrt{3}}{2} \\

0 = 1.5 v_A' \sin(60^\circ) - 5.2 v_B' \sin(30^\circ) \\

3. 5 v_A' \frac{\sqrt{3}}{2} = 5.2 v_B' \frac{1}{2}

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整理すると、

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18 = 0.75 v_A' + 2.6\sqrt{3} v_B' \\

1.5\sqrt{3} v_A' = 5.2 v_B'

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2番目の式から、

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v_A' = \frac{5.2}{1.5\sqrt{3}} v_B'

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これを1番目の式に代入すると、

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18 = 0.75 \left(\frac{5.2}{1.5\sqrt{3}} v_B'\right) + 2.6\sqrt{3} v_B' \\

18 = \frac{3.9}{1.5\sqrt{3}} v_B' + 2.6\sqrt{3} v_B' \\

18 = \left(\frac{3.9}{1.5\sqrt{3}} + 2.6\sqrt{3}\right) v_B' \\

18 = \left(\frac{3.9 + 2.6 \times 1.5 \times 3}{1.5\sqrt{3}}\right) v_B' \\

18 = \left(\frac{3.9 + 11.7}{1.5\sqrt{3}}\right) v_B' \\

18 = \frac{15.6}{1.5\sqrt{3}} v_B' \\

18 = \frac{10.4}{\sqrt{3}} v_B' \\

v_B' = \frac{18\sqrt{3}}{10.4} = \frac{9\sqrt{3}}{5.2} \approx 3.00 m/s

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したがって、

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v_A' = \frac{5.2}{1.5\sqrt{3}} \times \frac{9\sqrt{3}}{5.2} = \frac{9}{1.5} = 6.00 m/s

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3. 最終的な答え

$v_A' = 6.00 \ m/s$

$v_B' = 3.00 \ m/s$