$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点の位置ベクトルが $r(t) = (t - e^{t-1}, 2)$ で与えられている。時刻 $t=0$ から $t=2$ の間に質点が動いた経路の長さ $s$ を求める。

1. 問題の内容

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点の位置ベクトルが $r(t) = (t - e^{t-1}, 2)$ で与えられている。時刻 $t=0$ から $t=2$ の間に質点が動いた経路の長さ $s$ を求める。

2. 解き方の手順

経路の長さは、速度ベクトルの大きさ（速さ）を時間で積分することで求められます。

まず、速度ベクトル $\mathbf{v}(t)$ を求めます。これは、位置ベクトル $\mathbf{r}(t)$ を時間 $t$ で微分することで得られます。

$$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(t - e^{t-1}), \frac{d}{dt}(2)\right)$$

$\frac{d}{dt}(t - e^{t-1}) = 1 - e^{t-1}$

$\frac{d}{dt}(2) = 0$

したがって、

$$\mathbf{v}(t) = (1 - e^{t-1}, 0)$$

次に、速さ $|\mathbf{v}(t)|$ を計算します。

$$|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(1 - e^{t-1})^2 + 0^2} = |1 - e^{t-1}|$$

経路の長さ $s$ は、速さ $|v(t)|$ を時刻 $t=0$ から $t=2$ まで積分することで求まります。

$$s = \int_0^2 |1 - e^{t-1}| dt$$

積分範囲を分割する必要があります。

$1 - e^{t-1} = 0$ となるのは、$e^{t-1} = 1$、つまり $t-1 = 0$、すなわち $t = 1$ のときです。

$0 \le t < 1$ のとき、$t - 1 < 0$ なので $e^{t-1} < 1$ となり、$1 - e^{t-1} > 0$ です。

$1 < t \le 2$ のとき、$t - 1 > 0$ なので $e^{t-1} > 1$ となり、$1 - e^{t-1} < 0$ です。

したがって、積分は次のように分割されます。

$$s = \int_0^1 (1 - e^{t-1}) dt + \int_1^2 (e^{t-1} - 1) dt$$

それぞれの積分を計算します。

$$\int_0^1 (1 - e^{t-1}) dt = [t - e^{t-1}]_0^1 = (1 - e^0) - (0 - e^{-1}) = 1 - 1 + e^{-1} = e^{-1}$$

$$\int_1^2 (e^{t-1} - 1) dt = [e^{t-1} - t]_1^2 = (e^{2-1} - 2) - (e^{1-1} - 1) = (e - 2) - (1 - 1) = e - 2$$

したがって、経路の長さ $s$ は

$$s = e^{-1} + e - 2$$

3. 最終的な答え

$s = e^{-1} + e - 2$