質量 $m_A = 6.0$ kg の物体Aが東向きに $v_A = 10$ m/s で進み、質量 $m_B = 5.0$ kg の物体Bが北向きに $v_B = 12$ m/s で進み、衝突して一体となった。衝突後の速度（速さと向き）を求める。ただし、向きは東向きに対する角度で表す。

## 問題8

1. 問題の内容

質量 $m_A = 6.0$ kg の物体Aが東向きに $v_A = 10$ m/s で進み、質量 $m_B = 5.0$ kg の物体Bが北向きに $v_B = 12$ m/s で進み、衝突して一体となった。衝突後の速度（速さと向き）を求める。ただし、向きは東向きに対する角度で表す。

2. 解き方の手順

衝突の前後で運動量が保存されることを利用します。

東向きをx軸、北向きをy軸とします。

* Aの運動量：$p_{Ax} = m_A v_A = 6.0 \times 10 = 60$ kg m/s, $p_{Ay} = 0$

* Bの運動量：$p_{Bx} = 0$, $p_{By} = m_B v_B = 5.0 \times 12 = 60$ kg m/s

衝突後の物体AとBが一体となった物体の質量は $m = m_A + m_B = 6.0 + 5.0 = 11.0$ kg です。

衝突後の速度を $v$ とすると、x成分 $v_x$ 、y成分 $v_y$ は、運動量保存則より

$m v_x = p_{Ax} + p_{Bx} = 60 + 0 = 60$

$m v_y = p_{Ay} + p_{By} = 0 + 60 = 60$

したがって、

$v_x = \frac{60}{11.0} \approx 5.45$ m/s

$v_y = \frac{60}{11.0} \approx 5.45$ m/s

衝突後の速さ $|v|$ は

$|v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(5.45)^2 + (5.45)^2} = \sqrt{2 \times (5.45)^2} = 5.45 \sqrt{2} \approx 7.71$ m/s

衝突後の角度 $\theta$ は

$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{5.45}{5.45} = 1$

$\theta = \arctan(1) = 45^{\circ}$

3. 最終的な答え

速さ：7.71 m/s

向き：東向きから45°

## 問題9

1. 問題の内容

質量 $m_A = 1.5$ kg の物体Aが、$v_A = 12$ m/s の速さでx軸上を正の向きに進み、静止している質量 $m_B = 5.2$ kg の物体Bに衝突した。衝突後、物体Aは進行方向から $60^{\circ}$ ずれ、物体Bは $30^{\circ}$ の方向に進んだ。衝突後の物体A, Bの速さ $v_A', v_B'$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

運動量保存則を利用します。衝突前のAの運動量はx軸正の方向のみです。衝突後のAとBの運動量は、それぞれ $60^{\circ}$ と $30^{\circ}$ の方向に進みます。

x軸方向とy軸方向で運動量保存則を立てます。

* Aの衝突前の運動量：$p_{Ax} = m_A v_A = 1.5 \times 12 = 18$ kg m/s, $p_{Ay} = 0$

* Bの衝突前の運動量：$p_{Bx} = 0, p_{By} = 0$

* Aの衝突後の運動量：$p_{A'x} = m_A v_A' \cos(60^{\circ}), p_{A'y} = m_A v_A' \sin(60^{\circ})$

* Bの衝突後の運動量：$p_{B'x} = m_B v_B' \cos(30^{\circ}), p_{B'y} = m_B v_B' \sin(30^{\circ})$

x軸方向の運動量保存則：

$m_A v_A = m_A v_A' \cos(60^{\circ}) + m_B v_B' \cos(30^{\circ})$

$18 = 1.5 v_A' \cos(60^{\circ}) + 5.2 v_B' \cos(30^{\circ})$

$18 = 1.5 v_A' (1/2) + 5.2 v_B' (\sqrt{3}/2)$

$36 = 1.5 v_A' + 5.2 \sqrt{3} v_B'$ (1)

y軸方向の運動量保存則：

$0 = m_A v_A' \sin(-60^{\circ}) + m_B v_B' \sin(30^{\circ})$

$0 = -1.5 v_A' \sin(60^{\circ}) + 5.2 v_B' \sin(30^{\circ})$

$0 = -1.5 v_A' (\sqrt{3}/2) + 5.2 v_B' (1/2)$

$1.5 \sqrt{3} v_A' = 5.2 v_B'$

$v_A' = \frac{5.2}{1.5 \sqrt{3}} v_B' = \frac{5.2 \sqrt{3}}{1.5 \times 3} v_B' \approx 2.00 v_B'$ (2)

(2)を(1)に代入します。

$36 = 1.5 (2.00 v_B') + 5.2 \sqrt{3} v_B'$

$36 = 3.00 v_B' + 5.2 \sqrt{3} v_B'$

$36 = (3.00 + 5.2 \sqrt{3}) v_B'$

$v_B' = \frac{36}{3.00 + 5.2 \sqrt{3}} \approx \frac{36}{3.00 + 9.00} = \frac{36}{12.0} \approx 2.99$ m/s

よって、

$v_B' \approx 2.99$ m/s

$v_A' \approx 2.00 \times 2.99 = 5.98 \approx 6.00$ m/s

3. 最終的な答え

$v_A' \approx 6.00$ m/s

$v_B' \approx 2.99$ m/s