(1) 2つの奇数の積から1を引いた数が偶数であることを証明する。 (2) 3で割ったとき、余りが1と2になる連続する2つの整数の積から2を引いた数が3で割り切れることを証明する。 (3) 連続する3つの整数において、最大の整数と最小の整数の積に1を加えた数が、中央の数の平方に等しいことを証明する。

1. 問題の内容

(1) 2つの奇数の積から1を引いた数が偶数であることを証明する。

(2) 3で割ったとき、余りが1と2になる連続する2つの整数の積から2を引いた数が3で割り切れることを証明する。

(3) 連続する3つの整数において、最大の整数と最小の整数の積に1を加えた数が、中央の数の平方に等しいことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 2つの奇数を $2m+1$ と $2n+1$ (ただし、$m$, $n$ は整数) と表す。

それらの積から1を引いた数は、

$(2m+1)(2n+1)-1 = 4mn + 2m + 2n + 1 - 1 = 4mn + 2m + 2n = 2(2mn + m + n)$

これは2の倍数なので偶数である。

(2) 連続する2つの整数を $3k+1$ と $3k+2$ (ただし、$k$ は整数)と表す。

これらの積から2を引くと、

$(3k+1)(3k+2) - 2 = 9k^2 + 6k + 3k + 2 - 2 = 9k^2 + 9k = 3(3k^2 + 3k)$

これは3の倍数なので、3で割り切れる。

(3) 連続する3つの整数を $n-1$, $n$, $n+1$ (ただし、$n$ は整数)と表す。

最大の整数と最小の整数の積に1を加えた数は、

$(n+1)(n-1) + 1 = n^2 - 1 + 1 = n^2$

これは中央の数 $n$ の平方に等しい。

3. 最終的な答え

(1) 2つの奇数の積から1を引いた数は偶数である。（証明終わり）

(2) 3で割ったとき、余りが1と2になる連続する2つの整数の積から2を引いた数は3で割り切れる。（証明終わり）

(3) 連続する3つの整数では、最大の整数と最小の整数の積に1を加えた数は、中央の数の平方に等しい。（証明終わり）