関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ （$0 \le x \le a$）の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求める。 (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求める。 (3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ （$0 \le x \le a$）の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求める。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求める。

(3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ のグラフの軸を求める。

$f(x) = x^2 - 5x + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

したがって、$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最小値 $-\frac{13}{4}$ を取る。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、区間 $[0, a]$ は軸 $x = \frac{5}{2}$ を含まない。

$f(x)$ は区間 $[0, a]$ で単調減少なので、最大値は $f(0)$、最小値は $f(a)$ となる。

$M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$

$m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、区間 $[0, a]$ は軸 $x = \frac{5}{2}$ を含む。

最小値は $f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$ である。

最大値は $f(0)$ と $f(a)$ のうち大きい方である。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$a=5$ のとき、$f(5) = 5^2 - 5(5) + 3 = 3$ となり、$f(0)=f(5)$.

軸から遠いほど大きいので、$f(0)=3$.

$M = 3$

$m = -\frac{13}{4}$

(3) $a > 5$ のとき、$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最小値 $-\frac{13}{4}$ を取る。

最大値は $f(0)$ と $f(a)$ のうち大きい方である。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$a^2 - 5a + 3 > 3$ を解くと、$a^2 - 5a > 0$ より $a(a-5) > 0$

$a > 5$ または $a < 0$ となる。

$a > 5$ なので、$f(a) > f(0)$.

$M = a^2 - 5a + 3$

$m = -\frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$