(1) 点(9, 1)から曲線 $C: y = -\frac{3}{x}$ に引いた接線の方程式を求める問題。接点を $(t, -\frac{3}{t})$ とおき、接線の方程式を求めて、それが(9, 1)を通ることから $t$ の値を決定し、接線の方程式を具体的に求める。 (2) 数直線上を運動する点Pの座標 $x$ が、時刻 $t$ の関数として $x = -t^3 + 12t^2$ ($t \ge 0$) で表されている。$\frac{dx}{dt}$ を計算し、$t$ がある値のときに点Pが原点から正の方向に最も離れている。その時の速度と加速度を求める。

1. 問題の内容

(1) 点(9, 1)から曲線 $C: y = -\frac{3}{x}$ に引いた接線の方程式を求める問題。接点を $(t, -\frac{3}{t})$ とおき、接線の方程式を求めて、それが(9, 1)を通ることから $t$ の値を決定し、接線の方程式を具体的に求める。

(2) 数直線上を運動する点Pの座標 $x$ が、時刻 $t$ の関数として $x = -t^3 + 12t^2$ ($t \ge 0$) で表されている。$\frac{dx}{dt}$ を計算し、$t$ がある値のときに点Pが原点から正の方向に最も離れている。その時の速度と加速度を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、曲線 $y = -\frac{3}{x}$ 上の点 $(t, -\frac{3}{t})$ における接線を求める。

$y' = \frac{3}{x^2}$ より、接線の傾きは $\frac{3}{t^2}$ である。

接線の方程式は、

$y - (-\frac{3}{t}) = \frac{3}{t^2}(x - t)$

$y = \frac{3}{t^2}x - \frac{3}{t} - \frac{3}{t}$

$y = \frac{3}{t^2}x - \frac{6}{t}$

これが点(9, 1)を通るので、

$1 = \frac{3}{t^2} \cdot 9 - \frac{6}{t}$

$1 = \frac{27}{t^2} - \frac{6}{t}$

$t^2 = 27 - 6t$

$t^2 + 6t - 27 = 0$

$(t+9)(t-3) = 0$

$t = -9, 3$

よって、$t = 3$ のとき、接線は $y = \frac{3}{3^2}x - \frac{6}{3} = \frac{1}{3}x - 2$

$t = -9$ のとき、接線は $y = \frac{3}{(-9)^2}x - \frac{6}{-9} = \frac{3}{81}x + \frac{2}{3} = \frac{1}{27}x + \frac{2}{3}$

(2)

$x = -t^3 + 12t^2$

$\frac{dx}{dt} = -3t^2 + 24t$

点Pが原点から正の方向に最も離れているとき、$\frac{dx}{dt}=0$ となる。

$-3t^2 + 24t = 0$

$-3t(t-8) = 0$

$t=0, 8$

$t>0$ より、$t=8$

$t=8$ のとき、速度は $\frac{dx}{dt} = 0$

加速度は $\frac{d^2x}{dt^2} = -6t + 24$

$t=8$ のとき、加速度は $-6(8) + 24 = -48 + 24 = -24$

3. 最終的な答え

(1)

[1] = 3, [2] = $t^2$, [3] = 6, [4] = 6, [5] = 2, [6] = 7, [7] = 3, [8] = -9, [9] = 1, [10] = 3, [11] = 2, [12] = 1, [13] = 2, [14] = 7, [15] = 2, [16] = 3

(2)

[17] = 3, [18] = 2, [19] = 4, [20] = 8, [21] = 0, [22] = 2, [23] = 4