与えられた積分 $\int x^2 \cos x \, dx$ を計算します。問題文には、部分積分を2回行うように指示されています。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^2 \cos x \, dx$ を計算します。問題文には、部分積分を2回行うように指示されています。

2. 解き方の手順

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

まず、$u = x^2$、$dv = \cos x \, dx$ とおきます。すると、$du = 2x \, dx$、$v = \sin x$ となります。したがって、

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\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx

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次に、$\int 2x \sin x \, dx = 2 \int x \sin x \, dx$ を計算します。

再び部分積分を行い、$u = x$、$dv = \sin x \, dx$ とおきます。すると、$du = dx$、$v = -\cos x$ となります。したがって、

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\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C_1

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よって、

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2 \int x \sin x \, dx = 2(-x \cos x + \sin x) + C_2 = -2x \cos x + 2 \sin x + C_2

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最初の積分に戻ると、

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\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - (-2x \cos x + 2 \sin x) + C = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C

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3. 最終的な答え

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\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C

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