$\int x^2 \cos x dx$ を計算する問題です。部分積分を2回行う必要があります。

1. 問題の内容

$\int x^2 \cos x dx$ を計算する問題です。部分積分を2回行う必要があります。

2. 解き方の手順

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ステップ1：1回目の部分積分

$u = x^2$ と $dv = \cos x dx$ とおきます。すると、

$du = 2x dx$

$v = \sin x$

となります。部分積分の公式より、

$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x dx$

$= x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx$

ステップ2：2回目の部分積分

$\int x \sin x dx$ を計算するために、再び部分積分を行います。

$u = x$ と $dv = \sin x dx$ とおきます。すると、

$du = dx$

$v = - \cos x$

となります。部分積分の公式より、

$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx$

$= -x \cos x + \int \cos x dx$

$= -x \cos x + \sin x + C$

ステップ3：結果をまとめる

ステップ2の結果をステップ1の式に代入します。

$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C$

$= x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

3. 最終的な答え

$x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$