関数 $f(x) = |x-5|\sqrt{x-2}$ について、定義域、微分 $f'(x)$ の式 ($x > 5$ のときと $2 < x < 5$ のとき)、$f'(x)$ の符号変化点、極大値、極小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x-5|\sqrt{x-2}$ について、定義域、微分 $f'(x)$ の式 ($x > 5$ のときと $2 < x < 5$ のとき)、$f'(x)$ の符号変化点、極大値、極小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、定義域を求めます。$\sqrt{x-2}$ が定義されるためには、$x-2 \ge 0$ である必要があるので、$x \ge 2$。したがって、定義域は $x \ge 2$ です。よって、1の解答は 2。

次に、$f'(x)$ を求めます。

$f(x) = |x-5|\sqrt{x-2}$ を場合分けして考えます。

(i) $x > 5$ のとき、$f(x) = (x-5)\sqrt{x-2}$

$f'(x) = \sqrt{x-2} + (x-5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{2(x-2) + (x-5)}{2\sqrt{x-2}} = \frac{3x-9}{2\sqrt{x-2}} = \frac{3(x-3)}{2\sqrt{x-2}} = \frac{2}{4} \frac{3(x-3)}{\sqrt{x-2}}$

$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{(x-3)}{\sqrt{x-2}} > 0$ より、選択肢５は②。

(ii) $2 < x < 5$ のとき、$f(x) = -(x-5)\sqrt{x-2}$

$f'(x) = -\sqrt{x-2} - (5-x) \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-2(x-2) - (5-x)}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-2x+4-5+x}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-x-1}{2\sqrt{x-2}} = -\frac{x+1}{2\sqrt{x-2}}$.

$f'(x) = \frac{-3(x-3)}{2\sqrt{x-2}} = - \frac{2}{4} \cdot \frac{3(x-3)}{\sqrt{x-2}}$。

したがって、$f'(x) = -\frac{3}{2} \frac{x-3}{\sqrt{x-2}}$となります。

$x > 5$ のとき、$f'(x) = \frac{3(x-3)}{2\sqrt{x-2}} > 0$

$2 < x < 5$ のとき、$f'(x) = -\frac{(x+1)}{2\sqrt{x-2}}$より、$2<x<5$では常に$f'(x)<0$。

$f'(x)=0$となるのは$x=3$のとき。

$f'(x)$ の符号変化について、$x<3$では、$2<x<5$なので、$f'(x)<0$。

$x>3$では、$f'(x)>0$。

$x=5$の前後で$f'(x)$の式が変わる。

$x<5$では常に$f'(x)<0$であり、$x>5$では$f'(x)>0$である。

$2 < x < 5$のとき、$f'(x) < 0$。$x=3$ の前後で、$x < 3$ なら、$f'(x) < 0$、$x > 3$ なら、$f'(x) < 0$。$x = 5$ の前後で符号が変化します。$x=5$の前後で、$x<5$では$f'(x)$は負、$x>5$では$f'(x)$は正。したがって、$x = 5$ で符号が変化する。よって6は5。

$x = 5$ の前後で符号が変化し、$f'(x)$ の符号が負から正に変わるので、$x = 5$ で極小値をとります。また、$f(5) = 0$ となるので、極小値は 0です。よって10は0。

$x = 3$ において、$f'(x)=0$ である。$f(3)=2\sqrt{1}=2$。$2<x<5$では常に$f'(x)$は負であるので、$x=3$で極値を取ることはない。

極大値をとるのは、$x<5$から$x>5$の区間で、$f'(x)$の符号が正から負に変わる点ですが、そのような点は存在しない。

3. 最終的な答え

1: 2

2: 3

3:

4:

5: ②

6: 5

7:

8:

9: 5

10: 0