複素数 $z = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7}$ について、以下の値を求める問題です。 (1) $z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6$ (2) $\alpha = z + z^2 + z^4$ とするとき、$\alpha + \overline{\alpha}$, $\alpha\overline{\alpha}$, $\overline{\alpha}$ (3) $(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$

1. 問題の内容

複素数 $z = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7}$ について、以下の値を求める問題です。

(1) $z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6$

(2) $\alpha = z + z^2 + z^4$ とするとき、$\alpha + \overline{\alpha}$, $\alpha\overline{\alpha}$, $\overline{\alpha}$

(3) $(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$

2. 解き方の手順

(1)

$z = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7}$ より、$z^7 = 1$ かつ $z \neq 1$。

$z^7 - 1 = 0$ は $(z-1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$ と因数分解できる。

$z \neq 1$ より、

$z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$

したがって、

$z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = -1$

(2)

$\alpha = z + z^2 + z^4$

$\overline{\alpha} = \overline{z + z^2 + z^4} = \overline{z} + \overline{z^2} + \overline{z^4} = \overline{z} + \overline{z}^2 + \overline{z}^4$

ここで、$\overline{z} = \cos(-\frac{2\pi}{7}) + i\sin(-\frac{2\pi}{7}) = \cos(\frac{2\pi}{7}) - i\sin(\frac{2\pi}{7}) = z^{-1} = z^6$

したがって、$\overline{\alpha} = z^6 + z^{12} + z^{24} = z^6 + z^5 + z^3$

$\alpha + \overline{\alpha} = (z + z^2 + z^4) + (z^6 + z^5 + z^3) = z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = -1$

$\alpha\overline{\alpha} = (z + z^2 + z^4)(z^6 + z^5 + z^3) = z^7 + z^6 + z^4 + z^8 + z^7 + z^5 + z^{10} + z^9 + z^7 = 1 + z^6 + z^4 + z + 1 + z^5 + z^3 + z^2 + 1 = 3 + (z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6) = 3 - 1 = 2$

(3)

$P(z) = (1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$

$z^7 - 1 = (z-1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$

$z \neq 1$ より、 $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$

$z^7 - 1 = (z-1)(z-z^2)(z-z^3)(z-z^4)(z-z^5)(z-z^6)(z-z^7)$

$\frac{z^7-1}{z-1} = z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = (z-z)(z-z^2)(z-z^3)(z-z^4)(z-z^5)(z-z^6)$

$Q(z) = z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = (z-z)(z-z^2)(z-z^3)(z-z^4)(z-z^5)(z-z^6) = 0$

$Q(1) = 1^6 + 1^5 + 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 7 = (1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $\alpha + \overline{\alpha} = -1$, $\alpha\overline{\alpha} = 2$, $\overline{\alpha} = z^3 + z^5 + z^6$

(3) $7$