関数 $f(x)=|x-5|\sqrt{x-2}$ について、定義域、導関数 $f'(x)$、極値などを求める問題。

1. 問題の内容

関数 $f(x)=|x-5|\sqrt{x-2}$ について、定義域、導関数 $f'(x)$、極値などを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 定義域

平方根の中身が0以上である必要があるので、$x-2 \geq 0$、つまり $x \geq 2$。よって、f(x)の定義域は $x \geq 2$ である。

(2) 導関数の計算

$x > 5$ のとき、$f(x) = (x-5)\sqrt{x-2}$ なので、

$f'(x) = \sqrt{x-2} + (x-5) \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{2(x-2) + (x-5)}{2\sqrt{x-2}} = \frac{3x-9}{2\sqrt{x-2}} = \frac{3(x-3)}{2\sqrt{x-2}}$

$2 < x < 5$ のとき、$f(x) = -(x-5)\sqrt{x-2} = (5-x)\sqrt{x-2}$ なので、

$f'(x) = -\sqrt{x-2} + (5-x) \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-2(x-2) + (5-x)}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-3x+9}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-3(x-3)}{2\sqrt{x-2}}$

(3) $f'(x)$ の符号変化

$x>5$のとき、$f'(x) = \frac{3(x-3)}{2\sqrt{x-2}}$なので、$f'(x) > 0$。

$2 < x < 5$のとき、$f'(x) = \frac{-3(x-3)}{2\sqrt{x-2}}$なので、

$2 < x < 3$では$f'(x) > 0$、 $3 < x < 5$では$f'(x) < 0$。

したがって、$f'(x)$は $x=3$ の前後で符号変化する。

(4) 極値

$f'(x)$ の符号変化から、$x=3$ で極大値、$x=5$で極小値を取ることが予想される。

$f(3) = |3-5|\sqrt{3-2} = 2\sqrt{1} = 2$

$f(5) = |5-5|\sqrt{5-2} = 0$

以上より、$x=3$で極大値2、$x=5$で極小値0をとる。

また、x>5のときf'(x)>0であるから、xが大きくなるとf(x)も大きくなる。

（解答欄を埋める）

f(x)の定義域は $x \geq 2$ である。

$x > 5$ のとき $f'(x) = \frac{3(x-3)}{2\sqrt{x-2}} > 0$

$2 < x < 5$ のとき $f'(x) = -\frac{3(x-3)}{2\sqrt{x-2}}$ であり

$f'(x)$ は $x=3$ の前後で符号変化する。

以上より、$f(x)$は

$x=3$で極大値$2$

$x=5$で極小値$0$

をとる。

3. 最終的な答え

1: 2

2: 3

3: 3

4: 2

5: > (選択肢 2)

6: 3

7: 3

8: 2

9: 5

10: 0