関数 $f(x) = x + \sqrt{2}\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$)について、$f'(x)$、$f''(x)$を求め、$f'(x) = 0$となる$x$の値と、$f''(x)$の正負を調べ、極大値、極小値を求める問題です。また、選択肢から適切な不等号を選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \sqrt{2}\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$)について、$f'(x)$、$f''(x)$を求め、$f'(x) = 0$となる$x$の値と、$f''(x)$の正負を調べ、極大値、極小値を求める問題です。また、選択肢から適切な不等号を選びます。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$、$f''(x)$を求めます。

$f(x) = x + \sqrt{2}\cos x$

$f'(x) = 1 - \sqrt{2}\sin x$

$f''(x) = -\sqrt{2}\cos x$

次に、$f'(\frac{\pi}{4})$、$f''(\frac{\pi}{4})$を計算します。

$f'(\frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 - 1 = 0$

$f''(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -1 < 0$

よって、$x = \frac{\pi}{4}$のとき、極大値をとります。

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} + 1$

次に、$f'(\frac{3\pi}{4})$、$f''(\frac{3\pi}{4})$を計算します。

$f'(\frac{3\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2}\sin(\frac{3\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 - 1 = 0$

$f''(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2}\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 > 0$

よって、$x = \frac{3\pi}{4}$のとき、極小値をとります。

$f(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} + \sqrt{2}\cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4} - 1$

次に、$f'(\frac{8\pi}{9})$、$f''(\frac{8\pi}{9})$を計算します。

問題文より、$x = \frac{8\pi}{9}$のとき$f'(\frac{8\pi}{9})=0$

$f''(\frac{8\pi}{9}) = -\sqrt{2}\cos(\frac{8\pi}{9})$

$\frac{\pi}{2} < \frac{8\pi}{9} < \pi$なので、$\cos(\frac{8\pi}{9}) < 0$

したがって、$f''(\frac{8\pi}{9}) = -\sqrt{2}\cos(\frac{8\pi}{9}) > 0$

5の選択肢: $f''(\frac{\pi}{4}) < 0$なので、選択肢は②

10の選択肢: $f''(\frac{8\pi}{9}) > 0$なので、選択肢は①

3. 最終的な答え

1: 1

2: $\sqrt{2}$

3: $\sqrt{2}$

4: $\frac{\pi}{4}$

5: ②

6: 4

7: 1

8: $\frac{8\pi}{9}$

9: $\frac{8\pi}{9}$

10: ①

11: $3\pi$

12: 4

13: 1