$2^x + 2^{-x} = 3$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2^x + 2^{-x} = 3$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $2^x + 2^{-x} = 3$ を利用して、$4^x + 4^{-x}$ の値を求める。

まず、$4^x$ と $4^{-x}$ を $2^x$ と $2^{-x}$ で表すことを考える。

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ および $4^{-x} = (2^2)^{-x} = (2^{-x})^2$ である。

したがって、$4^x + 4^{-x} = (2^x)^2 + (2^{-x})^2$ となる。

次に、$(2^x + 2^{-x})^2$ を展開する。

$(2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 + (2^{-x})^2$

この式を変形すると、$(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = (2^x + 2^{-x})^2 - 2$ となる。

よって、$4^x + 4^{-x} = (2^x + 2^{-x})^2 - 2$ である。

$2^x + 2^{-x} = 3$ なので、

$4^x + 4^{-x} = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

3. 最終的な答え

$4^x + 4^{-x} = 7$