座標平面上に直線 $l_1: 3x+2y-39=0$ と直線 $l_2: kx-y-5k+12=0$ がある。 (1) 直線 $l_1$ と $x$ 軸の交点、および直線 $l_2$ が $k$ の値に関わらず通る点を求める。 (2) 2直線 $l_1, l_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができないような $k$ の値を求める。 (3) 2直線 $l_1, l_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域を $D$ とする。さらに、$r$ を正の実数とし、不等式 $x^2+y^2 \le r^2$ の表す領域を $E$ とする。直線 $l_2$ が点 $(-13, 0)$ を通る場合の $k$ の値を求め、 $D$ が $E$ に含まれるような $r$ の値の範囲を求める。次に、$r=$ シス の場合を考え、$D$ が $E$ に含まれるような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に直線 $l_1: 3x+2y-39=0$ と直線 $l_2: kx-y-5k+12=0$ がある。

(1) 直線 $l_1$ と $x$ 軸の交点、および直線 $l_2$ が $k$ の値に関わらず通る点を求める。

(2) 2直線 $l_1, l_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができないような $k$ の値を求める。

(3) 2直線 $l_1, l_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域を $D$ とする。さらに、$r$ を正の実数とし、不等式 $x^2+y^2 \le r^2$ の表す領域を $E$ とする。直線 $l_2$ が点 $(-13, 0)$ を通る場合の $k$ の値を求め、 $D$ が $E$ に含まれるような $r$ の値の範囲を求める。次に、$r=$ シス の場合を考え、$D$ が $E$ に含まれるような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l_1$ と $x$ 軸の交点: $y=0$ を $3x+2y-39=0$ に代入すると $3x-39=0$ より $x=13$。よって $(13, 0)$。

直線 $l_2: kx-y-5k+12=0$ を $k$ について整理すると $k(x-5)-y+12=0$。これが $k$ の値に関わらず成り立つためには、 $x-5=0$ かつ $-y+12=0$。よって $x=5, y=12$。したがって $(5, 12)$。

(2) 2直線 $l_1, l_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができないのは、$l_1$ と $l_2$ が平行なとき、または $l_2$ が $x$ 軸に平行なとき、または $l_2$ が $l_1$ と $x$ 軸の交点を通るとき。

$l_1: 3x+2y-39=0$ より $y=-\frac{3}{2}x+\frac{39}{2}$。傾きは $-\frac{3}{2}$。

$l_2: kx-y-5k+12=0$ より $y=kx-5k+12$。傾きは $k$。

平行なとき: $k = -\frac{3}{2}$

$l_2$ が $x$ 軸に平行なとき: $k=0$

$l_2$ が $(13, 0)$ を通るとき: $13k - 5k + 12 = 0$ より $8k+12=0$。よって $k=-\frac{3}{2}$

したがって、$k = -\frac{3}{2}, 0$。

(3) $l_2$ が $(-13, 0)$ を通るとき: $-13k - 5k + 12 = 0$ より $-18k+12=0$。よって $k=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。

$l_1$ と $x$ 軸の交点は $(13, 0)$。$l_2$ と $x$ 軸の交点は、$kx-5k+12=0$ より $x = \frac{5k-12}{k}$。$k=\frac{2}{3}$ のとき $x = \frac{5(\frac{2}{3})-12}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{10}{3}-12}{\frac{2}{3}} = \frac{10-36}{2} = \frac{-26}{2} = -13$。

$l_1$ と $l_2$ の交点は $(5, 12)$。$x$ 軸との交点は $(13,0)$ と $(-13,0)$。この3点でできる三角形を $D$ とする。領域 $D$ が円 $E: x^2+y^2 \le r^2$ に含まれるためには、点 $(5, 12)$ が円に含まれる必要がある。

$5^2+12^2 = 25+144=169=13^2$ より $r \ge 13$。

$r=13$ のとき、$E: x^2+y^2 \le 13^2 = 169$。$l_1: 3x+2y-39=0$ と $l_2: kx-y-5k+12=0$ と $x$ 軸で囲まれた三角形が $E$ に含まれるような $k$ の範囲を求める。$k=0$ のとき、$l_2: y=12$ であり、これは明らかに $(5,12)$ を通るので不適。

$l_1: 3x+2y-39=0$ より $y = -\frac{3}{2}x + \frac{39}{2}$

$l_2: y=kx-5k+12$

$D$ が $E$ に含まれる条件を考えると、$l_2$ の傾き $k$ が、$l_1$ の傾きに近すぎると三角形の面積が大きくなり、$E$ に含まれなくなる。$D$ は $x$ 軸上 $(-13,0)$ から $(13,0)$ の間と、交点 $(5,12)$ で構成されるので、傾きは $k \ge \frac{12}{5}$ 付近から $k$ が小さくなると面積が大きくなり、円に外れる。

$l_1$ の傾きは $-\frac{3}{2}=-1.5$

$l_2$ の傾きは $k$

$x = 5, y = 12$ なので、$r \ge 13$.

$r=13$ のとき、傾きが 0 に近いほど外側へ広がってしまうので、$l_2$ が $y = -\frac{3}{2}x+\frac{39}{2}$ より急な直線であると良い。

交点が $(5,12)$ なので、$x=-13, x=13$ が $E$ の範囲に含まれるかどうかが重要。

3. 最終的な答え

アイ: 13

ウ: 5

エオ: 12

カ: -3

キク: 2

ケ: 0

コ: 2

サ: 3

シス: 13

セ: 3

ソ: 2

タチ: -3

ツ: 2