$2^x + 2^{-x} = 3$ のとき、以下の2つの式の値を求める問題です。 (1) $4^x + 4^{-x}$ (2) $8^x + 8^{-x}$

1. 問題の内容

$2^x + 2^{-x} = 3$ のとき、以下の2つの式の値を求める問題です。

(1) $4^x + 4^{-x}$

(2) $8^x + 8^{-x}$

2. 解き方の手順

(1) $4^x + 4^{-x}$ の値を求めます。

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ であることと、$4^{-x} = (2^2)^{-x} = (2^{-x})^2$ であることを利用します。

与えられた条件式 $2^x + 2^{-x} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(2^x + 2^{-x})^2 = 3^2$

$(2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 9$

$(2^x)^2 + 2(2^{x-x}) + (2^{-x})^2 = 9$

$(2^x)^2 + 2(2^0) + (2^{-x})^2 = 9$

$(2^x)^2 + 2 + (2^{-x})^2 = 9$

$(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = 9 - 2$

$(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = 7$

したがって、$4^x + 4^{-x} = 7$ となります。

(2) $8^x + 8^{-x}$ の値を求めます。

$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$ であることと、$8^{-x} = (2^3)^{-x} = (2^{-x})^3$ であることを利用します。

$(2^x + 2^{-x})^3 = 3^3$

$(2^x)^3 + 3(2^x)^2(2^{-x}) + 3(2^x)(2^{-x})^2 + (2^{-x})^3 = 27$

$(2^x)^3 + 3(2^x)(2^x)(2^{-x}) + 3(2^x)(2^{-x})(2^{-x}) + (2^{-x})^3 = 27$

$(2^x)^3 + 3(2^x)(1) + 3(2^{-x})(1) + (2^{-x})^3 = 27$

$(2^x)^3 + 3(2^x + 2^{-x}) + (2^{-x})^3 = 27$

$(2^x)^3 + (2^{-x})^3 + 3(3) = 27$

$(2^x)^3 + (2^{-x})^3 + 9 = 27$

$(2^x)^3 + (2^{-x})^3 = 27 - 9$

$(2^x)^3 + (2^{-x})^3 = 18$

したがって、$8^x + 8^{-x} = 18$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $4^x + 4^{-x} = 7$

(2) $8^x + 8^{-x} = 18$