次の式を因数分解する問題です。 (1) $abc - 3bc$ (2) $6x^2y + 3xy^2$ (3) $(a+3)x - (a+3)y$ (4) $x^2(a-b) + 4(b-a)$ (5) $2c(x^2-y^2) - 4d(y^2-x^2)$ (6) $x^2 - 3xy - 18y^2$ (7) $a^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2 - b^2x^2$

1. 問題の内容

次の式を因数分解する問題です。

(1) $abc - 3bc$

(2) $6x^2y + 3xy^2$

(3) $(a+3)x - (a+3)y$

(4) $x^2(a-b) + 4(b-a)$

(5) $2c(x^2-y^2) - 4d(y^2-x^2)$

(6) $x^2 - 3xy - 18y^2$

(7) $a^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2 - b^2x^2$

2. 解き方の手順

(1) $abc - 3bc$

共通因数 $bc$ でくくります。

$abc - 3bc = bc(a-3)$

(2) $6x^2y + 3xy^2$

共通因数 $3xy$ でくくります。

$6x^2y + 3xy^2 = 3xy(2x+y)$

(3) $(a+3)x - (a+3)y$

共通因数 $(a+3)$ でくくります。

$(a+3)x - (a+3)y = (a+3)(x-y)$

(4) $x^2(a-b) + 4(b-a)$

$b-a = -(a-b)$ なので、$4(b-a) = -4(a-b)$ と変形します。

$x^2(a-b) + 4(b-a) = x^2(a-b) - 4(a-b) = (a-b)(x^2-4)$

さらに、$x^2-4 = x^2 - 2^2 = (x+2)(x-2)$ と因数分解できます。

$x^2(a-b) + 4(b-a) = (a-b)(x+2)(x-2)$

(5) $2c(x^2-y^2) - 4d(y^2-x^2)$

$y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2)$ なので、$-4d(y^2-x^2) = 4d(x^2-y^2)$ と変形します。

$2c(x^2-y^2) - 4d(y^2-x^2) = 2c(x^2-y^2) + 4d(x^2-y^2) = (x^2-y^2)(2c+4d)$

$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$ と因数分解でき、$2c+4d=2(c+2d)$ なので、

$2c(x^2-y^2) - 4d(y^2-x^2) = 2(x+y)(x-y)(c+2d)$

(6) $x^2 - 3xy - 18y^2$

$x^2 - 3xy - 18y^2 = (x+ay)(x+by)$ となる $a, b$ を探します。

$ab = -18$ かつ $a+b = -3$ となる $a, b$ は $a = 3$, $b = -6$ です。

$x^2 - 3xy - 18y^2 = (x+3y)(x-6y)$

(7) $a^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2 - b^2x^2$

項の順番を入れ替えます。

$a^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2 - b^2x^2 = a^2x^2 - a^2y^2 + b^2y^2 - b^2x^2$

$a^2$ と $b^2$ でそれぞれくくります。

$a^2x^2 - a^2y^2 + b^2y^2 - b^2x^2 = a^2(x^2 - y^2) - b^2(x^2 - y^2) = (a^2 - b^2)(x^2 - y^2)$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ なので、

$(a^2 - b^2)(x^2 - y^2) = (a+b)(a-b)(x+y)(x-y)$

3. 最終的な答え

(1) $bc(a-3)$

(2) $3xy(2x+y)$

(3) $(a+3)(x-y)$

(4) $(a-b)(x+2)(x-2)$

(5) $2(x+y)(x-y)(c+2d)$

(6) $(x+3y)(x-6y)$

(7) $(a+b)(a-b)(x+y)(x-y)$