(1) $x=-2$, $y=5$ のとき、$\left( \frac{-x^2y^3}{3} \right)^3 \div \left( \frac{x^3y^6}{2} \right) \div (-x^2y)^2$ の値を求めよ。 (2) $m$, $n$ は3桁の自然数であり、$2019+m^2=n^2$ を満たしている。$m$, $n$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x=-2$, $y=5$ のとき、$\left( \frac{-x^2y^3}{3} \right)^3 \div \left( \frac{x^3y^6}{2} \right) \div (-x^2y)^2$ の値を求めよ。

(2) $m$, $n$ は3桁の自然数であり、$2019+m^2=n^2$ を満たしている。$m$, $n$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた式を整理します。

$\left( \frac{-x^2y^3}{3} \right)^3 \div \left( \frac{x^3y^6}{2} \right) \div (-x^2y)^2 = \frac{(-x^2y^3)^3}{3^3} \div \frac{x^3y^6}{2} \div (x^4y^2) = \frac{-x^6y^9}{27} \times \frac{2}{x^3y^6} \times \frac{1}{x^4y^2} = \frac{-2x^6y^9}{27x^7y^8} = \frac{-2y}{27x}$

次に、$x=-2$, $y=5$ を代入します。

$\frac{-2y}{27x} = \frac{-2(5)}{27(-2)} = \frac{-10}{-54} = \frac{5}{27}$

(2) $2019 + m^2 = n^2$ を変形すると、$n^2 - m^2 = 2019$ となります。

さらに因数分解すると、$(n+m)(n-m) = 2019$ となります。

2019を素因数分解すると、$2019 = 3 \times 673$ です。

したがって、考えられる組み合わせは以下の通りです。

(i) $n+m = 2019$, $n-m = 1$ のとき:

$2n = 2020$, よって $n = 1010$

$m = 1010 - 1 = 1009$

このとき、$m, n$ は3桁の自然数ではないため不適。

(ii) $n+m = 673$, $n-m = 3$ のとき:

$2n = 676$, よって $n = 338$

$m = 338 - 3 = 335$

このとき、$m, n$ は3桁の自然数なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{27}$

(2) $m = 335$, $n = 338$