次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \frac{2^{x-1}}{1+2^x}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{x-1}}{1+2^x}$

2. 解き方の手順

$2^x$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{x-1}}{1+2^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2^{x-1}}{2^x}}{\frac{1}{2^x}+\frac{2^x}{2^x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \cdot 2^{-1} \cdot 2^{-x}}{2^{-x}+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2^x}+1}$

$x \to \infty$ のとき $\frac{1}{2^x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2^x}+1} = \frac{\frac{1}{2}}{0+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$