$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く。 (1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$ (2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く。

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$

(2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$ を解く。

$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表す。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

与式に代入すると、$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$

$-2\sin^2 \theta + \sin \theta = 0$

$\sin \theta (1 - 2\sin \theta) = 0$

よって、$\sin \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\sin \theta = 0$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = 0, \pi$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$ を解く。

(1)と同様に、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いると、$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta > 1$

$-2\sin^2 \theta + \sin \theta > 0$

$\sin \theta (1 - 2\sin \theta) > 0$

$(\sin \theta) (2\sin \theta - 1) < 0$

$0 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

$0 < \theta < 2\pi$ の範囲で、$0 < \sin \theta < \frac{1}{2}$ となるのは、

$0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $0 < \theta < \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} < \theta < \pi$