全体集合 $U = \{x | x \text{ は10より小さい自然数}\}$、集合 $A = \{2, 4, 6\}$、集合 $B = \{1, 3, 4, 7\}$ が与えられています。 (1) $\overline{A}$、(2) $A \cap \overline{B}$、(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$、(4) $\overline{A \cap B}$ を求めます。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x \text{ は10より小さい自然数}\}$、集合 $A = \{2, 4, 6\}$、集合 $B = \{1, 3, 4, 7\}$ が与えられています。

(1) $\overline{A}$、(2) $A \cap \overline{B}$、(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$、(4) $\overline{A \cap B}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を具体的に書き出します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(1) $\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 3, 4, 7\} = \{2, 5, 6, 8, 9\}$

$A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 6\} \cap \{2, 5, 6, 8, 9\} = \{2, 6\}$

(3) $\overline{A}$ は(1)で求めた通り$\{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$です。$\overline{B}$は(2)で求めた通り$\{2, 5, 6, 8, 9\}$です。

$\overline{A} \cup \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合です。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\} \cup \{2, 5, 6, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分です。

$A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 4, 7\} = \{4\}$

$\overline{A \cap B}$ は $U$ の中で $A \cap B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{4\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{2, 6\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$