与えられた式 $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ が成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ が成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

対数の底の変換公式を使って、$\log_b c$ を底 $a$ の対数で表します。

底の変換公式は以下の通りです。

$$\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}$$

与えられた式の左辺にこの公式を適用します。

$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a b \cdot \frac{\log_a c}{\log_a b}$

ここで、$\log_a b$ が分子と分母にあるので、約分できます。

$\log_a b \cdot \frac{\log_a c}{\log_a b} = \log_a c$

したがって、左辺は $\log_a c$ となり、右辺と一致します。

3. 最終的な答え

$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ が成り立つ。