$z = \cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}$ (ただし $i$ は虚数単位) とおく。 (1) $z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$ を求めよ。 (2) $a = z+z^2+z^4$ とするとき、$a+\bar{a}$, $a\bar{a}$ および $\bar{a}$ を求めよ。ただし, $\bar{a}$ は $a$ の共役複素数である。 (3) $(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$z = \cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}$ (ただし $i$ は虚数単位) とおく。

(1) $z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$ を求めよ。

(2) $a = z+z^2+z^4$ とするとき、$a+\bar{a}$, $a\bar{a}$ および $\bar{a}$ を求めよ。ただし, $\bar{a}$ は $a$ の共役複素数である。

(3) $(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $z = \cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}$ より、$z^7 = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1$。また、$z \neq 1$。

したがって、$z^7 - 1 = (z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1) = 0$。

$z \neq 1$ より、$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1 = 0$。

よって、$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 = -1$。

(2) $a = z+z^2+z^4$ の共役複素数 $\bar{a}$ は $\bar{a} = \bar{z}+\bar{z^2}+\bar{z^4}$ であり、$\bar{z} = \frac{1}{z}$。

したがって、$\bar{a} = \frac{1}{z} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z^4} = \frac{z^6}{z^7} + \frac{z^5}{z^7} + \frac{z^3}{z^7} = z^6+z^5+z^3$ (なぜなら、$z^7 = 1$）。

$a+\bar{a} = (z+z^2+z^4)+(z^3+z^5+z^6) = z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 = -1$ ( (1) より)。

$a\bar{a} = (z+z^2+z^4)(z^3+z^5+z^6) = z^4+z^6+z^7+z^5+z^7+z^8+z^7+z^9+z^{10} = z^4+z^6+1+z^5+1+z+1+z^2+z^3 = 3+(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6) = 3+(-1) = 2$.

したがって、$\bar{a} = z^3+z^5+z^6$、 $a+\bar{a}=-1$、$a\bar{a}=2$。

(3) $f(x) = (x-z)(x-z^2)(x-z^3)(x-z^4)(x-z^5)(x-z^6)$.

$z, z^2, z^3, z^4, z^5, z^6$ は、$x^7-1 = 0$ の $x=1$ 以外の解だから、

$\frac{x^7-1}{x-1} = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = (x-z)(x-z^2)(x-z^3)(x-z^4)(x-z^5)(x-z^6) = f(x)$.

よって、$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6) = f(1) = 1^6+1^5+1^4+1^3+1^2+1+1 = 7$.

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $\bar{a}=z^3+z^5+z^6$, $a+\bar{a}=-1$, $a\bar{a}=2$

(3) $7$