問題11は、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ を、例8にならって確認する問題です。

1. 問題の内容

問題11は、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ を、例8にならって確認する問題です。

2. 解き方の手順

例8では、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ を図を使って示しています。同様に、問題11の等式も図を使って示します。

(1) $\overline{A \cap B}$ をベン図で表します。$A \cap B$ は、集合Aと集合Bの両方に含まれる要素の集合です。$\overline{A \cap B}$ は、全体集合Uから $A \cap B$ を除いた部分です。この部分をベン図上で塗りつぶします。

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$ をベン図で表します。$\overline{A}$ は、全体集合Uから集合Aを除いた部分であり、$\overline{B}$ は、全体集合Uから集合Bを除いた部分です。$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。$\overline{A}$ の領域と $\overline{B}$ の領域をベン図上でそれぞれ塗りつぶし、$A \cap B$ 以外は全て塗りつぶされます。

(3) (1)と(2)で塗りつぶされた領域が同じであることを確認します。$\overline{A \cap B}$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、どちらもベン図上で $A \cap B$ を除いた部分を塗りつぶした図になるため、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことがわかります。

3. 最終的な答え

$\overline{A \cap B}$ は、AとBの両方に含まれる部分を除いた領域であり、$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、Aに含まれない部分とBに含まれない部分の和集合なので、同じ領域を表します。したがって、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立ちます。