7人を指定された人数とグループに分ける場合の数を求める問題です。 (1) 7人を2人組A、2人組B、3人組Cに分ける場合の数を求めます。 (2) 7人を2人、2人、3人の3つのグループに分ける場合の数を求めます。

1. 問題の内容

7人を指定された人数とグループに分ける場合の数を求める問題です。

(1) 7人を2人組A、2人組B、3人組Cに分ける場合の数を求めます。

(2) 7人を2人、2人、3人の3つのグループに分ける場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 7人からA組の2人を選ぶ組み合わせは $_7C_2$ 通りです。

残りの5人からB組の2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通りです。

残りの3人は自動的にC組になるので、組み合わせは $_3C_3 = 1$ 通りです。

したがって、全部の組み合わせは $_7C_2 \times _5C_2 \times _3C_3$ 通りです。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_3C_3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

したがって、全部の組み合わせは $21 \times 10 \times 1 = 210$ 通りです。

(2) 7人から最初の2人を選ぶ組み合わせは $_7C_2$ 通りです。

残りの5人から次の2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通りです。

残りの3人は自動的に最後のグループになるので、組み合わせは $_3C_3 = 1$ 通りです。

ただし、2人組が2つあるので、同じ組み合わせが重複して数えられています。2つの2人組の区別をなくすために、2! で割る必要があります。

したがって、全部の組み合わせは $\frac{_7C_2 \times _5C_2 \times _3C_3}{2!} = \frac{21 \times 10 \times 1}{2} = \frac{210}{2} = 105$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 105通り