9人の生徒A, B, C, D, E, F, G, H, I がいます。 (1) 4人の組と5人の組に分ける方法、AとBが同じ組になるように分ける方法、AとBが同じ組になり、CがA, Bとは別の組になるように分ける方法を求めます。 (2) 3人ずつ3つの組に分ける方法を求めます。 (3) 9人をaとbの2つの教室に入れる方法を求めます。ただし、各教室には少なくとも1人が入っているものとします。

1. 問題の内容

9人の生徒A, B, C, D, E, F, G, H, I がいます。

(1) 4人の組と5人の組に分ける方法、AとBが同じ組になるように分ける方法、AとBが同じ組になり、CがA, Bとは別の組になるように分ける方法を求めます。

(2) 3人ずつ3つの組に分ける方法を求めます。

(3) 9人をaとbの2つの教室に入れる方法を求めます。ただし、各教室には少なくとも1人が入っているものとします。

2. 解き方の手順

(1)

* 4人の組と5人の組に分ける方法: 9人から4人を選ぶ組み合わせの数なので、$_9C_4$を計算します。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

* AとBが同じ組になるように分ける方法: AとBが同じ組に入る場合、残り2人を7人から選びます。この組が4人の組となる場合、残りの5人は自動的に決まります。

よって、$_7C_2$ を計算します。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

* AとBが同じ組になり、CがA, Bとは別の組になるように分ける方法: AとBと同じ組にCが入らないようにするため、4人の組にはAとB以外に2人、Cとは別の6人から選びます。

よって、$_6C_2$ を計算します。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(2)

* 3人ずつ3つの組に分ける方法: まず9人から3人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人から3人を選びます。ただし、組の順番は区別しないので、3!で割ります。

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!3!3!}}{3!} = \frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6 \times 6} = 280$

$\frac{{}_9C_3 \cdot {}_6C_3 \cdot {}_3C_3}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = 280$

(3)

* 9人をaとbの2つの教室に入れる方法: 各人がaかbのどちらかの教室に入る2通りの選択肢があります。したがって、全員の入り方は$2^9$通りです。ただし、空の教室があってはいけないので、全員が同じ教室に入る2通り（全員a, 全員b）を除きます。

$2^9 - 2 = 512 - 2 = 510$

3. 最終的な答え

(1)

* 4人の組と5人の組に分ける方法は、126通り。

* AとBが同じ組になるように分ける方法は、21通り。

* AとBが同じ組になり、CがA, Bとは別の組になるように分ける方法は、15通り。

(2)

* 3人ずつ3つの組に分ける方法は、280通り。

(3)

* 9人をaとbの2つの教室に入れる方法は、510通り。