図のような道路がある町で、PからQまで遠回りをせずに進む場合の経路数を求める問題です。 (1) Rを通る経路の総数 (2) ×印の箇所を通らない経路の総数 (3) Rを通り、かつ×印の箇所を通らない経路の総数 をそれぞれ求めます。
2025/6/30
1. 問題の内容
図のような道路がある町で、PからQまで遠回りをせずに進む場合の経路数を求める問題です。
(1) Rを通る経路の総数
(2) ×印の箇所を通らない経路の総数
(3) Rを通り、かつ×印の箇所を通らない経路の総数
をそれぞれ求めます。
2. 解き方の手順
(1) Rを通る経路の総数
PからRまでの経路数と、RからQまでの経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。
PからRまでの経路数は、右に1回、下に1回の移動が必要なので、通りです。
RからQまでの経路数は、右に5回、下に5回の移動が必要なので、通りです。
したがって、Rを通る経路の総数は、 通りです。
(2) ×印の箇所を通らない経路の総数
まず、PからQまでの経路の総数を計算します。右に6回、下に6回の移動が必要なので、通りです。
次に、×印の箇所を通る経路の総数を計算します。
Pから×印の箇所までの経路数は、右に3回、下に2回の移動が必要なので、通りです。
×印の箇所からQまでの経路数は、右に3回、下に4回の移動が必要なので、通りです。
したがって、×印の箇所を通る経路の総数は、通りです。
×印の箇所を通らない経路の総数は、PからQまでの経路の総数から×印の箇所を通る経路の総数を引けばよいので、通りです。
(3) Rを通り、かつ×印の箇所を通らない経路の総数
Rを通る経路の総数から、Rを通り、かつ×印の箇所を通る経路の総数を引きます。
Rを通り、×印の箇所を通る経路の総数は、
PからRまでの経路数、Rから×印の箇所までの経路数、×印の箇所からQまでの経路数の積です。
PからRまでの経路数は、2通りです。
Rから×印の箇所までの経路数は、右に2回、下に1回の移動が必要なので、通りです。
×印の箇所からQまでの経路数は、35通りです。
したがって、Rを通り、×印の箇所を通る経路の総数は、通りです。
Rを通り、かつ×印の箇所を通らない経路の総数は、Rを通る経路の総数からRを通り、かつ×印の箇所を通る経路の総数を引けばよいので、通りです。
3. 最終的な答え
(1) 504通り
(2) 574通り
(3) 294通り