図のような道路がある町で、PからQまで遠回りをせずに進む場合の経路数を求める問題です。 (1) Rを通る経路の総数 (2) ×印の箇所を通らない経路の総数 (3) Rを通り、かつ×印の箇所を通らない経路の総数 をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

図のような道路がある町で、PからQまで遠回りをせずに進む場合の経路数を求める問題です。

(1) Rを通る経路の総数

(2) ×印の箇所を通らない経路の総数

(3) Rを通り、かつ×印の箇所を通らない経路の総数

をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) Rを通る経路の総数

PからRまでの経路数と、RからQまでの経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRまでの経路数は、右に1回、下に1回の移動が必要なので、$_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$通りです。

RからQまでの経路数は、右に5回、下に5回の移動が必要なので、$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$通りです。

したがって、Rを通る経路の総数は、 $2 \times 252 = 504$通りです。

(2) ×印の箇所を通らない経路の総数

まず、PからQまでの経路の総数を計算します。右に6回、下に6回の移動が必要なので、$_{12}C_6 = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$通りです。

次に、×印の箇所を通る経路の総数を計算します。

Pから×印の箇所までの経路数は、右に3回、下に2回の移動が必要なので、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

×印の箇所からQまでの経路数は、右に3回、下に4回の移動が必要なので、$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通りです。

したがって、×印の箇所を通る経路の総数は、$10 \times 35 = 350$通りです。

×印の箇所を通らない経路の総数は、PからQまでの経路の総数から×印の箇所を通る経路の総数を引けばよいので、$924 - 350 = 574$通りです。

(3) Rを通り、かつ×印の箇所を通らない経路の総数

Rを通る経路の総数から、Rを通り、かつ×印の箇所を通る経路の総数を引きます。

Rを通り、×印の箇所を通る経路の総数は、

PからRまでの経路数、Rから×印の箇所までの経路数、×印の箇所からQまでの経路数の積です。

PからRまでの経路数は、2通りです。

Rから×印の箇所までの経路数は、右に2回、下に1回の移動が必要なので、$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通りです。

×印の箇所からQまでの経路数は、35通りです。

したがって、Rを通り、×印の箇所を通る経路の総数は、$2 \times 3 \times 35 = 210$通りです。

Rを通り、かつ×印の箇所を通らない経路の総数は、Rを通る経路の総数からRを通り、かつ×印の箇所を通る経路の総数を引けばよいので、$504 - 210 = 294$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 504通り

(2) 574通り

(3) 294通り