1から8までの数字が書かれた8個の玉があり、そこから2個ずつを箱A, B, Cに入れる。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。 (2) 3つの箱への玉の入れ方は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数が入るような入れ方は何通りあるか。 (3) 各箱に入れた玉の数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数になるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数になるような入れ方は何通りあるか。

## 解答

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8個の玉があり、そこから2個ずつを箱A, B, Cに入れる。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数が入るような入れ方は何通りあるか。

(3) 各箱に入れた玉の数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数になるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数になるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる玉の選び方

8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用いる。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(2) 3つの箱への玉の入れ方

まず、8個から2個を箱Aに入れる選び方は $_8C_2 = 28$通り。

次に、残りの6個から2個を箱Bに入れる選び方は $_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

最後に、残りの4個から2個を箱Cに入れる選び方は $_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

したがって、3つの箱への入れ方は $28 \times 15 \times 6 = 2520$通り。

ただし、箱A, B, Cの区別はないので、上記の方法ではA, B, Cの順列を考慮してしまっている。A, B, Cの区別がない場合は、組み合わせの数を3! = 6で割る必要がある。しかし、本問題では箱A, B, Cの区別があるので、この操作は不要である。

次に、箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数が入る場合の数について考える。

5以下の数は1, 2, 3, 4, 5の5個、6以上の数は6, 7, 8の3個である。

箱Cには6以上の数から2個選ぶので、$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

残りの6個の玉は1, 2, 3, 4, 5の5個と、6以上の数の中から箱Cに入れられなかった1個である。

これらの6個から2個を箱Aに入れる。箱Aに入れられるのは5以下の数なので、5個の玉から2個選ぶことになる。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

残りの4個から2個を箱Bに入れる。これも同様に5以下の数から選ぶ必要があるため、残った3個の5以下の玉と箱Cに入れられなかった6以上の玉の中から2個を選ぶ。つまり3個の5以下の玉から2個を選ぶ必要がある。$_3C_2 = 3$通り。

したがって、箱Aと箱Bに5以下の数、箱Cに6以上の数が入るような入れ方は $3 \times 10 \times 3 = 90$通り。

(3) a, b, cがすべて偶数となるような入れ方

2個の玉の数の和が偶数になるのは、2個とも偶数か、2個とも奇数の場合である。

1から8の数字のうち、偶数は2, 4, 6, 8の4個、奇数は1, 3, 5, 7の4個である。

したがって、すべての箱で2個とも偶数か、2個とも奇数となる必要がある。

まず箱Aに2個の偶数を入れる場合、$_4C_2 = 6$通り。箱Bにも2個の偶数を入れる場合、残りの2個から$_2C_2 = 1$通り。箱Cは偶数を入れられないので、このパターンは存在しない。

次に箱Aに2個の奇数を入れる場合、$_4C_2 = 6$通り。箱Bにも2個の奇数を入れる場合、残りの2個から$_2C_2 = 1$通り。箱Cは奇数を入れられないので、このパターンは存在しない。

したがって、どの箱にも偶数または奇数だけが入るケースはない。

全ての箱の和を偶数にするためには、2個とも偶数または2個とも奇数であることが条件である。

箱A: 偶数+偶数 or 奇数+奇数

箱B: 偶数+偶数 or 奇数+奇数

箱C: 偶数+偶数 or 奇数+奇数

箱Aに2個の偶数を選ぶ場合、$_4C_2 = 6$通り。箱Bに2個の偶数を選ぶ場合、$_2C_2 = 1$通り。箱Cに2個の奇数を選ぶ場合、$_4C_2 = 6$通り。

箱Aに2個の奇数を選ぶ場合、$_4C_2 = 6$通り。箱Bに2個の奇数を選ぶ場合、$_2C_2 = 1$通り。箱Cに2個の偶数を選ぶ場合、$_4C_2 = 6$通り。

よって $6 \times 1 \times 6 + 6 \times 1 \times 6 = 36 + 36 = 72$

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数になる入れ方

すべての入れ方からすべて奇数になる入れ方を引けばよい。

すべての入れ方は2520通り。(2)より

a, b, cがすべて奇数になる入れ方は0通り。(上記より)

よって、2520通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り、90通り

(3) 72通り、2520通り